"

20 Inéquations Non Linéaires

\bullet  Une inéquation où un côté est écrit comme un produit ou quotient de facteurs linéaires ou de facteurs quadratiques, pourra être résolue à travers un diagramme de signes.   

 

\bullet   Comment résoudre une inéquation?

                   — déterminer les points où chaque facteur est 0

                  — déterminer le signe de chaque facteur dans chaque intervalle

                  — utiliser les règles de multiplication ou division pour déterminer le signe global de la quantité.  

 

\bullet   L’ensemble des solutions \quad (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \leqslant 0\quad   est    \quad (-\infty, \alpha]\cup [\beta, \gamma], \quad (\alpha < \beta <\gamma)  puisqu’on a 

\begin{matrix} x & -\infty\hskip 5.5cm \alpha \hskip 3.5cm \beta \hskip 3cm \gamma \hskip 3cm +\infty \\ \hline x-\alpha &\hskip 2cm - \hskip 3cm + \hskip 4cm + \hskip 3cm +\\ \hline x-\beta & \hskip 2cm -\hskip 3cm-\hskip 4cm + \hskip 3cm + \\ \hline x-\gamma & \hskip 2cm - \hskip 3cm -\hskip 4cm - \hskip 3cm +\\ \hline (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) & \hskip 2cm - \hskip 3cm +\hskip 4cm - \hskip 3cm + \\ \hline \end{matrix}

 

Voir la Vidéo


Voir sur YouTube

 

Afficher les Exemples

 

Exercice 1

Afficher/Masquer Solution.

L’ensemble des solutions est l’intervalle : \displaystyle{ (-\infty , -\frac{{1}}{{9}} )\cup (\frac{{9}}{{7}}, +\infty ) }.

 

Exercice 2

Afficher/Masquer Solution.

L’ensemble des solutions est l’intervalle : \displaystyle{ (-\infty , -3 ]\cup [2,4]}.

 

Exercice 3

Afficher/Masquer Solution.

Notons que \quad \displaystyle{ \frac{ ( 2x - 1 )^{1/3} ( - 4 x + 1 )^2 }{ ( x + 5)^3 (x^2 + 7 ) } = \frac{ ( 2x - 1 )^{1/3} }{ ( x + 5)^3 } \, . \, \frac{ ( - 4 x + 1 )^2 }{ (x^2 + 7 ) } } .

On a

\qquad \displaystyle{ \frac{ ( - 4 x + 1 )^2 }{ (x^2 + 7 ) } \geq 0 \qquad \forall x \quad \hbox{ et} \quad \frac{ ( - 4 x + 1 )^2 }{ (x^2 + 7 ) } = 0 \quad \hbox{ pour } \quad x=1/4.}

On a aussi

\displaystyle{ \frac{ ( 2x - 1 )^{1/3} }{ ( x + 5)^3 } \, \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{ 2x - 1 }{ x + 5 } \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \in (-\infty, -5) \cup [1/2, +\infty) }.

Donc, l’ensemble des solutions est : (-\infty, -5) \cup \{ 1/4\}\cup [1/2, +\infty).

Licence

Symbole de Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International

Guide de Révision du Pré-calcul Droit d'auteur © 2025 par Samia CHALLAL est sous licence Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International, sauf indication contraire.

Partagez ce livre