Transposition d’équations

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Utilisation d’équations

10 Transposition d’équations

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Avez-vous déjà rencontré au cours de vos études de mathématiques une situation où vous deviez résoudre une variable qui ne semblait pas se trouver au bon endroit? Regardez l’exemple suivant pour voir ce que je veux dire.

$\Large \text{A} = {\text{B}}^ \times 0.7854 \times \text{H}$

Dans un monde idéal, vous aimeriez résoudre « A » et obtenir en même temps les valeurs de « B » et « H ».

Mais que se passerait-il si on vous donnait « A » et que vous deviez résoudre « B »? Comment procéderiez-vous?

La façon de procéder ici serait de déplacer les variables et d’isoler « B ». Cela signifie que « B » se trouve d’un côté de l’équation, tout seul, et que tout le reste se trouve de l’autre côté. Regardez à nouveau l’équation une fois que cela a été fait.

$\Large \text{B} = \sqrt{\dfrac{\text{A}}{.7854 \times \text{H}}}$

Cette modification de la formule s’appelle « transposition » d’une équation.

Ce n’est pas aussi simple que de déplacer des objets. Il existe des règles pour en arriver là, et ce sont ces règles et leur application que nous allons aborder dans cette partie du chapitre.

Ce qu’il faut retenir de plus important lors de la transposition d’équations est que tout ce qui est fait d’un côté de l’équation doit également être fait de l’autre côté de l’équation.

Si vous regardez cela d’un point de vue mathématique, c’est logique. Nous avons déjà défini qu’une équation est constituée de deux expressions mathématiques séparées par un signe égal.

Cela signifie que les variables et constantes d’addition, de soustraction, de division et de multiplication d’un côté de l’équation sont égales à toutes les variables d’addition, de soustraction, de division et de multiplication de l’autre côté de l’équation.

Ainsi, si vous décidez d’ajouter 5 à un côté, vous devez ajouter 5 à l’autre côté. Cela permet de conserver l’égalité de l’équation.

Regardez l’exemple suivant.

$\Large \begin{array}{c}10+7=9+8 \\ \text{This works out to be:} \\ 17=17\end{array}$

Nous avons ici une équation qui est exacte. Ajoutez maintenant 5 du côté gauche de l’équation, et vous verrez que, pour que l’équation reste vraie, vous devrez ajouter 5 du côté droit de l’équation.

$\Large \begin{array}{c} 10 + 7 + \mathbf = 9 + 8 + \textbf{?} \\ 22 = 9 + 8 + ? \\ 22 = 9 + 8 + \mathbf \\ 22 = 22 \end{array}$

Gardez à l’esprit qu’il s’agit d’un exemple où nous avons ajouté quelque chose d’un côté. Si nous avions soustrait, divisé oumultiplié, les choses seraient différentes. Nous aurions dû faire la même chose de l’autre côté.

Transposition d’équations en utilisant l’addition et la soustraction

Commencez par une équation simple.

$\Large \begin{array}{c}7+2=8+1 \\ \text{This works out to be:}\\ 9=9\end{array}$

Ajoutez ensuite 4 à l’un des côtés de l’équation et résolvez le problème.

$\Large 7+2+4=8+1+ \text{ ?}$

Comme on a ajouté 4 du côté gauche de l’équation, on doit aussi ajouter 4 du côté droit de l’équation. On obtient :

$\Large \begin{array}{c}7+2+ \mathbf = 8 + 1 + \textbf{?} \\ 13 = 9 + \text{ ?} \\ 13 = 9 + \mathbf \\ 13 =13 \end{array}$

Tel qu’indiqué précédemment, la règle est que tout ce que vous faites d’un côté, vous devez le faire de l’autre. Dans ce cas, si nous ajoutons 4 à un côté, nous devons ajouter 4 à l’autre côté pour que l’égalité soit respectée.

La soustraction fonctionne de la même façon. Si nous devons soustraire 4 d’un côté, nous devons soustraire 4 de l’autre côté pour que l’égalité soit respectée.

Essayons ce concept avec une équation qui contient une variable inconnue. Regardez l’équation suivante et résous la valeur de « J ».

$\Large 7+ \text{J}=5+8$

Pour résoudre « J », nous devons isoler « J » d’un côté de l’équation, et le côté où nous isolons « J » n’a pas d’importance. Si nous suivons notre règle, pour isoler« J », nous devrons nous débarrasser du 7 du côté gauche. La question est de savoir comment procéder. En gros, ce que nous devons faire, c’est déplacer le 7 du côté gauche vers le côté droit.

Une fois de plus, nous devons toujours garder à l’esprit que tout ce que nous faisons d’un côté, nous devons le faire de l’autre.

Commence par ceci. Êtes-vous d’accord avec le fait que 7 − 7 = 0?

Et si nous soustrayons 7 du côté gauche de l’équation? Il ne nous restera plus que « J » sur le côté gauche, ce qui résout le problème de l’isolement de « J ».

$\Large \begin{array}{c} \mathbf{(7-7)} +\text{J} = 5+8 \\ 0 + \text{J} = 5+8 \\ \text{J}= 5+8 \end{array}$

Mathématiquement, ce n’est pas encore exact car nous n’avons traité que le côté gauche de l’équation. Ce que nous devons faire maintenant, c’est la même chose du côté droit et résoudre l’équation. Nous finissons donc par soustraire 7 du côté droit de l’équation pour que tout soit à nouveau égal.

$\Large \begin{array}{c}(7-7)+\text{J} = 5+8-7 \\ 0 + \text{J} = 13-7 \\ \text{J} = 13 - 7 \\ \text{J}=6 \end{array}$

Remarque. Vous pouvez toujours vérifier l’exactitude votre réponse en prenant la réponse et en la remettant dans l’équation pour remplacer la variable.

$\Large \begin{array}{rl}\text{Replace J with 6} & \\ \downarrow & \\ 7 + \text{J} & = 5+8 \\ 7+6 & = 5+8 \\ 13 & = 13 \end{array}$

Exemple

Trouver la valeur de G.

$\Large 27+ \text{G} = 43+49$

Étape 1 : Isolez la variable que vous essayez de trouver. Dans ce cas, c’est « G ». Pour ce faire, nous devons retirer le 27 du côté gauche de l’équation. Pour cela, il faut soustraire 27 du côté gauche, puis également du côté droit.

$\Large \begin{array}{c}27+\text{G} = 43+49 \\ \mathbf{(27-27)}+\text{G} = 43+49 - \mathbf\end{array}$

Étape 2 : Travaillez sur l’équation.

$\Large \begin{array}{c}(27-27) +\text{G} = 43+49-27 \\ 0 + \text{G} = 92-27 \\ \text{G}=65\end{array}$

Étape 3 : Vérifiez votre réponse.

$\Large \begin{array}{rl}\text{Replace G with 65} &\\ \downarrow & \\ 27 + \text{G} & = 43 + 49 \\ 27 + 65 & = 43 + 49 \\ 92 & =92\end{array}$

Exemple

Trouver la valeur de H.

$\Large \text{H}-16=13+19$

Étape 1 : Isolez la variable que vous essayez de trouver. Dans ce cas, c’est « H ». Pour ce faire, nous devons retirer le 16 du coté gauche de
l’équation. Pour cela, il faut ajouter 16 au côté gauche de l’équation, puis ajouter également 16 au côté droit de
l’équation.

$\Large \begin{array}{c}\text{H}-16 = 13+19 \\ \text{H} + \mathbf{(-16+16)}=13 + 19 \mathbf{ +16}\end{array}$

Étape 2 : Travaillez sur l’équation.

$\Large \begin{array}{c}\text{H}+(-16+16)=13+19+16 \\ \text{H}+0=32+16 \\ \text{H}=48 \end{array}$

Étape 3 : Vérifiez votre réponse.

$\Large \begin{array}{l}\text{Replace H with 48} \\ \downarrow \\ \text{H}-16 = 13+19 \end{array}$

$\Large \begin{array}{c} 48-16=13+19 \\32=32 \end{array}$

Exercices pratiques

Il est maintenant temps de répondre à quelques questions pour vous exercer. Assurez-vous de consulter les réponses vidéo pour voir comment vous vous êtes débrouillé.

Question 1

Trouver la valeur de S.

$\Large 142+\text{S}=198+257$

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Question 2

Trouver la valeur de Y.

$\Large \text{Y} - 22 = 51+53$

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Transposition d’équations à l’aide de la multiplication et de la division

La transposition d’équations à l’aide de la multiplication et de la division utilise le même principe de base que l’addition et la soustraction, c’est-à-dire que tout ce que vous faites d’un côté, vous devez le faire de l’autre.

Avant de nous plonger dans cette partie du chapitre, nous devrions nous rafraîchir un peu la mémoire et parler des réciproques en rapport avec les mathématiques. Regardez les deux nombres suivants, l’un étant un nombre entier et l’autre une fraction.

$\Large 4 \text{ and } \dfrac$

N’oubliez pas que lorsque nous écrivons le chiffre 4, nous pourrions aussi l’écrire comme suit :

$\Large\dfrac$

Vous souvenez-vous de ce qui se passe si nous les multiplions ensemble?

$\Large 4 \times \dfrac = \dfrac = 1$

Les réciproques sont des nombres qui, multipliés ensemble, sont égaux à 1. C’est un concept important lorsque l’on transpose à l’aide de la multiplication et de la division. Si nous divisons un nombre par sa réciproque et que nous obtenons un, nous avons essentiellement éliminé ce nombre de l’équation.

Voici un exemple. Trouver la valeur de K.

$\Large 8 \times \text{K} = 14 \times 17$

Comme lors de la transposition d’équations avec l’addition et la soustraction, la première chose à faire est d’isoler la variable que nous essayons de trouver. Dans ce cas, c’est « K ». Cela signifie que le 8 doit être retiré du côté gauche de l’équation. Multiplier 8 par sa réciproque nous donnera une valeur de 1. Parfait!

$\Large 8 \times \dfrac = \dfrac = 1$

En ajoutant ces informations à l’équation, nous obtenons ceci :

$\Large \begin{array}{c} 8 \times \dfrac = \dfrac = 1 \\ \mathbf{\dfrac} \times 8 \times \text{K}= 14 \times 17 \\ \dfrac \times \text{K} = 14 \times 17\\ 1\times \text{K}=14\times 17 \\ \text{K}=14\times 17 \end{array}$

Il resterait donc 1 × K dans la partie gauche de l’équation, qui ne serait finalement que « K » une fois la multiplication exécutée. C’est exactement ce que nous recherchons. Mais nous n’avons pas encore tout à fait terminé. Revenons maintenant à la règle d’or.

Tout ce que vous faites d’un côté de l’équation, vous devez le faire à l’autre. Par conséquent, comme nous avons multiplié le côté gauche de l’équation par ⅛ nous devons multiplier le côté droit de l’équation par ⅛.

$\Large \dfrac \times 8 \times \text{K} = 14 \times 17 \times \dfrac$

Ainsi, si nous suivons cette méthode, nous obtiendrons le résultat suivant :

$\Large \begin{array}\\ \mathbf{\dfrac} \times 8 \times \text{K} = 14 \times 17 \times \mathbf{ \dfrac} \\ \dfrac \times \text{K} = \dfrac \\ \text{K} = 29.75 \end{array}$

Nous devrions vérifier la réponse comme nous l’avons fait précédemment pour voir si elle est exacte.

$\Large \begin{array}{rl}\text{Replace K with 29.75} & \\ \downarrow & \\ 8 \times \text{K} & = 14 \times 17 \\ 8 \times 29.75 & = 14 \times 17 \\ 238 & = 238\end{array}$

Exemple

Nous allons essayer un autre exemple, mais cette fois nous aurons affaire à des fractions qui devront être déplacées. Nous allons également procéder par étapes, comme nous l’avons fait pour les questions précédentes.

Trouver la valeur de L.

$\Large \dfrac \times \text{L} = 12 \times 12$

Étape 1 : Isoler L. Dans ce cas, nous devons déplacer les 4/9 d’un côté à l’autre. Pour ce faire, nous devons multiplier les deux côtés par la réciproque de 4/9. Cela éliminera essentiellement les 4/9 du côté gauche de l’équation. La réciproque de 4/9 est 9/4.

$\Large \dfrac \times \dfrac = \dfrac = 1$

Nous obtenons par conséquent :

$\Large \dfrac \times \dfrac \times \text{L} = 12 \times 12 \times \dfrac$

Étape 2 : Résoudre l’équation

$\Large \begin{array}{c} \dfrac \times \dfrac \times \text{L} = 12 \times 12 \times \dfrac \\ 1 \times \text{L} = 144 \times \dfrac \\ \text{L} = \dfrac \\ \text{L}=324 \end{array}$

Étape 3 : Confirmez votre réponse

$\Large \begin{array}{rl}\text{Replace L with 324} & \\ \downarrow & \\ \dfrac \times \text{L} & = 12 \times 12 \\ \dfrac \times 324 & = 12 \times 12 \\ \dfrac & = 144 \\ 144 & = 144 \end{array}$

Exemple

Celui-ci est un peu plus difficile. Vous aurez remarqué dans la question qu’il n’y a pas de chiffres, seulement des lettres. Examinez la question et voyez si vous pouvez trouver des idées sur la façon de résoudre cette équation.

Résoudre la valeur de « D » dans l’équation suivante.

$\Large \dfrac{\text{A}}{\text{B}}= \dfrac{\text{C}}{\text{D}}$

Étape 1 : Définissez la variable à isoler. Dans ce cas, c’est donné pour nous et c’est « D. ».

$\Large \dfrac{\text{A}}{\text{B}}= \dfrac{\text{C}}{\textbf{D}}$

La difficulté ici est que « D » se trouve dans le dénominateur (sous) la fraction. Si nous devions l’isoler mais qu’il se trouvait quand même dans le dénominateur d’une fraction, nous n’aurions pas d’élément avec lequel travailler.

Lorsque « D » est isolé, il doit non seulement se trouver seul d’un côté de l’équation, mais aussi apparaître comme un nombre entier et non comme le dénominateur d’une fraction.

Étape 2 : Pour faciliter ce processus, décomposez l’équation comme suit.

$\Large \dfrac{\text{A}} \times \dfrac{\text{B}}= \dfrac{\text{C}} \times \dfrac{\text{D}}$

Souvenez-vous :

$\Large \dfrac{\text{A}} \times \dfrac{\text{B}}= \dfrac{\text{A}}{\text{B}}$

Nous n’avons rien modifié sur le plan mathématique, nous avons simplement transformé l’équation pour la rendre plus facile à travailler.

Étape 3 : Isoler « D ». Pour ce faire, nous devons retirer « C » du côté droit de l’équation. Pour ce faire, multipliez le côté droit et le côté gauche par 1/C.

$\Large \mathbf{\dfrac{\text{C}}} \times \dfrac{\text{A}} \times \dfrac{\text{B}}= \dfrac{\text{C}} \times \dfrac{\text{D}} \times \mathbf{\dfrac{\text{C}}}$

Cela peut sembler un peu compliqué, mais si vous suivez bien, vous commencerez à voir la réponse prendre forme. Regardez le côté droit de l’équation. Elle contient maintenant un C/1 et un 1/C. En multipliant ces réciproques, vous obtenez 1 et vous enlevez le « C » du côté droit.

$\Large \dfrac{\text{C}} \times \dfrac{\text{C}}= \dfrac{\text{C}}{\text{C}}=1$

Nous avons donc maintenant :

$\Large \dfrac{\text{C}} \times \dfrac{\text{A}} \times \dfrac{\text{B}}= 1 \times \dfrac{\text{D}}$

Si nous voulions simplifier cela, nous pourrions simplement procéder comme ceci :

$\Large \dfrac{\text{A}}{\text{C} \times \text{B}} = \dfrac{\text{D}}$

Étape 4 : Transférer D dans le numérateur de l’équation. Nous aurons besoin d’un peu de mathématiques et de patience pour y parvenir. Nous devons suivre les mêmes règles que celles que nous avons suivies.

Ici, il faut multiplier chaque côté par D/1. Le côté droit de l’équation est donc égal à 1, mais le côté gauche de l’équation contient maintenant D au numérateur.

$\Large \begin{array}{c}\dfrac{\text{D}} \times \dfrac{\text{A}}{\text{C} \times \text{B}} = \dfrac{\text{D}} \times \dfrac{\text{D}} \\ \dfrac{\text{D}} \times \dfrac{\text{A}}{\text{C}\times \text{B}} = 1 \end{array}$

Vous remarquerez que cela entraîne plus de travail, mais nous avons réussi à faire entrer « D » dans le numérateur de l’équation. Le seul problème, c’est que nous avons aussi un tas d’autres choses du même côté que « D » et notre tâche consiste maintenant à nous débarrasser de tout cela.

Il ne nous reste plus qu’à suivre les règles et à faire passer les A, B et C du côté droit et à isoler le D. Je vais le faire simplement et en un seul calcul rapide.

$\Large \dfrac{\text{D}} \times \dfrac{\text{A}}{\text{C} \times \text{B}} \times \dfrac{\text{C} \times \text{B}}{\text{A}} = \dfrac{\text{C} \times \text{B}}{\text{A}}$

Nous avons donc maintenant :

$\Large \text{D}= \dfrac{\text{C} \times \text{B}}{\text{A}}$

Il y a beaucoup de calculs à faire, mais si vous suivez les règles et que vous avancez étape par étape, vous y arriverez. Je vous suggère de revoir plusieurs fois ce que nous venons de faire avant de passer à autre chose. Il est très important de comprendre les calculs mathématiques nécessaires à la transposition de formules et d’équations.

À ce stade, vous vous demandez peut-être s’il existe un raccourci et, par chance, c’est le cas pour cette procédure que je vais décrire maintenant. Commençons par un exemple.

Prenez l’équation qui suit :

$\Large \dfrac=\dfrac$

Cette équation est exacte. Prenez maintenant chacune des fractions et inversez-les.

$\Large \dfrac = \dfrac$

Il semble que si vous inversez les deux fractions, l’équation reste vraie. Mathématiquement, vous faites la même chose d’un côté que de l’autre. Il y a beaucoup de calculs à faire ici, mais ce qui compte, c’est que si l’on faisait tous les calculs, on obtiendrait la même réponse.

Pour simplifier les choses, il suffit de procéder comme suit. Souvenez-vous que nous avons commencé par :

$\Large \dfrac{\text{A}}{\text{B}}= \dfrac{\text{C}}{\text{D}}$

Nous devons isoler D, mais le problème principal (et ce qui nous donne beaucoup de travail) est que D se trouve dans le dénominateur et que nous en avons besoin dans le numérateur.

Grâce à nos talents de mathématiciens, nous pouvons faire entrer D dans le numérateur en inversant simplement la fraction de gauche. Tout ce que nous faisons de ce côté-là, nous devons ensuite le faire de l’autre côté. Nous avons donc maintenant :

$\Large \dfrac{\text{B}}{\text{A}}= \dfrac{\text{D}}{\text{C}}$

Il ne nous reste plus qu’à retirer C du côté gauche en le multipliant par C/1, puis à faire la même chose pour le côté gauche.

$\Large \dfrac{\text{C}} \times \dfrac{\text{B}}{\text{A}}= \dfrac{\text{D}}{\text{C}} \times \dfrac{\text{D}}$

Nous avons donc maintenant…

$\Large \dfrac{\text{C} \times \text{B}}{\text{A}} = \text{D}$

Maintenant, assimiler tout cela d’un seul coup est peut-être trop difficile, alors vous voudrez peut-être revenir en arrière et relire toute l’explication. Mais il faut toujours garder à l’esprit les calculs.

Exemple

Dans cet exemple, nous allons utiliser la formule pour calculer l’aire d’un cercle. Plus loin, nous calculerons l’aire d’un cercle, mais pour l’instant, nous allons simplement nous occuper de la formule en elle-même.

$\Large \begin{array}{c} \text{Area of a circle} \\ \text{A} = {\text{D}}^ \times 0.7854 \end{array}$

$\Large \begin{array}{cl} \text{Where:} & \text{A = area of the circle} \\ & \text{D = diameter of the circle} \end{array}$

La résolution de l’aire du cercle serait assez simple, mais comme nous avons affaire à des transpositions d’équations dans cette section, nous allons résoudre le diamètre (D).

Étape 1 : Identifiez la variable que vous essayez de trouver.

$\Large \text{A} = \mathbf{{\text{D}}^} \times 0.7854$

Vous constater que nous avons plusieurs problèmes à régler. Le premier, isoler D. Le second, D comporte l’exposant 2 et nous devons l’éliminer d’une manière ou d’une autre.

Étape 2 : Isoler D.

Nous devons déplacer le 0,7854 du côté droit de l’équation vers le côté gauche. Nous suivons simplement les règles que nous avons utilisées jusqu’ici.

$\Large \begin{array}{c} \mathbf{\dfrac{0.7854}} \times \text{A} = {\text{D}}^ \times 0.7854 \times \mathbf{\dfrac{0.7854}} \\ \dfrac{\text{A}}{0.7854} = {\text{D}}^ \times \dfrac{0.7854}{0.7854} \\ \dfrac{\text{A}}{0.7854} = {\text{D}}^ \times 1 \\ \dfrac{\text{A}}{0.7854} = {\text{D}}^ \end{array}$

Voilà qui règle le premier problème. Il faut maintenant s’attaquer au problème D².

Étape 3 : Retirez l’exposant de D.

Une fois de plus, nous revenons à notre règle initiale. Tout ce que vous faites d’un côté, vous devez le faire de l’autre.

Nous allons consulter la vidéo sur les exposants et les racines carrées.que vous avez regardée plus tôt dans cette section. Nous allons faire un petit rappel avant de trouver la valeur de D.

Souvenez-vous :

$\Large \begin{array}{c} {\text{D}}^ = \text{D} \times \text{D} \\ \text{and... } \\ \sqrt{\text{D} \times \text{D}} = \text{D} \end{array}$

Ce que nous constatons, c’est que si vous faites la racine carrée d’un nombre qui est au carré (qui a un exposant de 2), vous vous retrouvez avec le nombre lui-même. Je vais rapidement vous le montrer avec des chiffres.

$\Large \begin{array}{c} ^ = 4 \times 4 \\ ^ = 16 \\ \sqrt = \sqrt{4 \times 4} \\ \sqrt = 4 \end{array}$

Après tout cela, nous pouvons maintenant résoudre le problème.

$\Large \begin{array}{c} \sqrt{\dfrac{\text{A}}{0.7854}}= \sqrt{{\text{D}}^} \\ \sqrt{\dfrac{\text{A}}{0.7854}} = \text{D} \end{array}$

Exercices pratiques

Il est maintenant temps de répondre à quelques questions pour vous exercer. Assurez-vous de consulter les réponses vidéo pour voir comment vous vous êtes débrouillé.

Question 1

Trouver la valeur de B.

$\Large \dfrac{\text{A} \times \text{B}}{\text{C}}=\dfrac{\text{D} \times \text{E}}{\text{F}}$

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Question 2

Trouver la valeur de C.

$\Large \dfrac{\text{A} \times \text{B}}{\text{C}}=\dfrac{\text{D} \times \text{E}}{\text{F}}$

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Transposition d’équations en utilisant l’addition et la soustraction

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Transposition d’équations à l’aide de la multiplication et de la division

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