Ordre des opérations

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Utilisation d’équations

9 Ordre des opérations

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Que signifie « l’ordre des opérations » en mathématiques? Il s’agit d’un ensemble de règles qu’on doit respecter lorsqu’on fait des équations mathématiques. Pourquoi avons-nous besoin de règles? Sans règle, vous pourriez obtenir deux réponses différentes pour la même question mathématique.

Regardez l’équation suivante et calculez ce qui semble être la bonne réponse selon vous.

$\Large 5 + 4 \times 3 = ?$

$\Large \begin{array}{lrl}\text{Option A} & \text{Start with:} & 5 + 4 = 9 \\ & \text{Then:} & 9 \times 3 = 27 \end{array}$

$\Large \begin{array}{lrl} \text{Option B}& \text{Start with:} & 4 \times 3 = 12 \\ & \text{Then:} & 12 + 5 = 17 \end{array}$

Ici, l’idée est que vous ne pouvez pas avoir deux réponses pour la même question. Cela ne fonctionne tout simplement pas en mathématiques. Une seule des deux réponses est correcte or, dans les deux cas, les calculs réels (c’est-à-dire ceux effectués à l’aide de la calculatrice) sont corrects. Vous n’avez commis aucune erreur. Le problème : l’ordre des opérations dans une des options est incorrect.

La bonne réponse est l’option B.

La question suivante à se poser : « Quelles sont les règles à suivre lorsqu’on fait des équations? »

C’est ici qu’entre en jeu le terme « PEMDAS ».

PEMDAS

PEMDAS est un acronyme utilisé pour définir l’ordre des opérations en mathématiques. Le PEMDAS établit l’ordre des calculs lorsque des équations comprennent différentes opérations comme l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

L’exemple ci-dessus démontre que ces lignes directrices permettront d’éviter de commettre des erreurs lorsqu’on résout des problèmes mathématiques.

PEMDAS

Parenthèses
Exposants
Multiplication
Division
Addition
Soustraction

Le PEMDAS nous indique la priorité des opérations lorsque nous faisons des calculs dans une équation. Par exemple, il faut faire la multiplication avant l’addition, et l’addition avant la soustraction.

On devrait tous connaître la division, la multiplication, l’addition et la soustraction, mais qu’en est-il des parenthèses et des exposants? De quoi s’agit-il, et comment fonctionnent-ils?

Selon le PEMDAS, les parenthèses sont le premier point à régler, et voici à quoi elles ressemblent :

Un crochet gauche et un crochet droit.

Les crochets font parfois référence aux « parenthèses », et en anglais on utilise parfois l’acronyme BEDMAS plutôt que PEDMAS. Ce sont deux termes interchangeables, et le symbole pour les parenthèses est le suivant :

Les crochets sont un outil qui permet de regrouper des chiffres ou des symboles. On commence par effectuer les calculs entre crochets (ou parenthèses).

Par exemple :

$\Large \text{Z} = 4 \times 2 \times (5 \times 9)$

Dans cette situation, on devrait d’abord calculer 5 x 9, puis résoudre le reste de l’équation.

Dans l’ordre des opérations, les exposants sont deuxièmes. Avez-vous déjà vu ceci dans un problème mathématique?

$\Large \text{D} = 4 + 8 \times 5 - 3 + ^$

Lorsqu’on parle d’exposant, il s’agit du 9³. Plus précisément, le 3 est l’exposant.

L’exposant indique le nombre de fois qu’un nombre se multiplie par lui-même dans une équation. Dans ce cas, le 3 indique qu’on multiplie 9 par trois.

$\Large ^ = 9 \times 9 \times 9$

Voyons un autre exemple pour comprendre le fonctionnement des exposants.

$\Large ^ = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$

Après les crochets et les exposants, on passe à la division, à la multiplication, à l’addition, puis à la soustraction.

Voici quelques exemples pour voir si vous avez bien compris.

Exemple

$\Large\text{A}=1+2\times 6\div 3$

Bien que nous ne le mentionnions pas dans les réponses, la première chose à faire est d’écrire « PEMDAS » pour vous y référer visuellement.

Parenthèses
Exposants
Multiplication
Division
Addition
Soustraction

Étape 1 : Il n’y a pas de parenthèse ou d’exposant dans cette équation. Le premier calcul à faire est la division.

$\Large \begin{array}{c}\text{A}=1+2\times \mathbf{6 \div 3} \\ 6 \div 3 = 2 \\ \text{So now we have:} \\ \text{A}=1+2 \times 2 \end{array}$

Étape 2 : Passez à l’étape suivante de PEMDAS : la multiplication.

$\Large\begin{array}{c} \text{A} = 1+ \mathbf{2\times 2} \\ 2 \times 2 = 4 \\ \text{So now we have:} \\ \text{A} = 1 + 4 \end{array}$

Étape 3 : Nous approchons de la fin. Il ne nous reste qu’une opération à faire. Additionnez simplement le un et le quatre pour obtenir la réponse.

$\Large \begin{array}{c} \text{A} = 1 + 4 \\ \text{A} = 5 \end{array}$

Comme vous le voyez maintenant, si vous n’aviez pas suivi les règles de priorité des opérations, les choses se seraient compliquées. Vous auriez pu obtenir différentes réponses. Pourriez-vous imaginer un examen à choix multiples, ou chaque réponse semble bonne, selon la manière dont vous résolvez le problème mathématique?

Voilà pourquoi PEMDAS est si important!

Quelques exemples de plus s’imposent.

Exemple

Trouver la valeur de Y.

$\Large \text{Y} = (24+36) \times 2 + ^$

Étape 1 : Tenez compte de PEMDAS. Commencez par les crochets.

$\Large \begin{array}{c} \text{Y}=\mathbf{(24+36)} \times 2 + ^ \\ 24 + 36 = 60 \\ \text{Y} = 60 \times 2 +^ \end{array}$

Étape 2 : Calculez ensuite les exposants.

$\Large \begin{array}{c} \text{Y} = 60 \times 2 + \mathbf{^} \\ ^ = 4 \times 4 = 16 \\ \text{Y} = 60 \times 2 + 16 \end{array}$

Étape 3 : Faites les multiplications.

$\Large \begin{array}{c} \text{Y}= \mathbf{60 \times 2} + 16 \\ 60 \times 2 = 120 \\ \text{Y} = 120 + 16 \end{array}$

Étape 4 : Enfin, faites les additions.

$\Large \begin{array}{c} \text{Y} = 120 + 16 \\ \text{Y} = 136 \\ \text{Final Answer: Y} = 36 \end{array}$

Après avoir répondu à quelques questions et avoir appris à utiliser PEMDAS, vous pourrez calculer n’importe quelle équation ou formule mathématique. Après un certain temps, vous saurez naturellement quelles sont les étapes à suivre.

Exemple

Trouver la valeur de M.

$\Large \text{M} = ^ \times 24 + 13 + 7 \times (45 \div 5)$

Étape 1 : Commencez par les crochets.

$\Large \begin{array}{c} \text{M} = ^ \times 24 + 13 + 7 \times \mathbf{(45 \div 5) }\\ 45 \div 5 = 9 \\ \text{M} = ^ \times 24 + 13 + 7 \times 9 \end{array}$

Étape 2 : Calculez ensuite les exposants.

$\Large \begin{array}{c} \text{M} = \mathbf{^} \times 24 + 13 + 7 \times (45 \div 5) \\ ^ = 17 \times 17 = 289 \\ \text{M} = 289 \times 24 + 13 + 7 \times 9 \end{array}$

Étape 3 : Faites les multiplications.

$\Large \begin{array}{c} \text{M} = \mathbf{289 \times 24} + 13 + \mathbf{7 \times 9} \\ 289 \times 24 = 6936 \\ 7 \times 9 = 63 \\ \text{M} = 6939 + 13 + 63 \end{array}$

Étape 4 : Faites les additions.

$\Large \begin{array}{c} \text{M} = 6939 + 13 + 63 \\ \text{M} = 7012 \\ \text{Final Answer: M} = 7012 \end{array}$

Exercices pratiques

Essayez de répondre seul.e à quelques questions pratiques, et vérifiez les réponses vidéo pour voir si votre réponse est exacte.

Question 1

Trouver la valeur de D.

$\Large \text{D} = 5 + 6 \div 2 \times 7 + ^ \times (5+7)$

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Question 2

Trouver la valeur de R.

$\Large \text{M} = 17 + (6\times 3) + ^ \div 5 - 22$

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