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1.5. Exposants et notation scientifique

Exposants

Retour sur les exposants :  an ou baseexposant

Notation exponentielle Exemples
Base     Exposant
an= a ∙ a ∙ a ∙ a … a 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2  = 16
Lire « a exposant n » ou « a à la n ». Lire « 2 exposant 4 ».

 

Propriétés des exposants :

Noms Règles Exemples
Règle du produit a^m\;a^n=a^{m+n} 2^3\;2^2=2^{3 + 2}=2^5=32
Règle du quotient \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \frac{y^4}{y^2}=y^{4-2}=y^2
Règle de la puissance a^m\;a^n=a^{m+n}

(a^m \cdot b^n)^p=a^{mp}\;b^{np}

(\frac{a^m}{b^n})^p=\frac{a^{mp}}{b^{np}}

 (x^3)^2=x^{3\cdot2}=x^6

(t^3 \cdot s^4)^2=t^{3 \cdot 2}\;s^{4 \cdot 2}=t^6\;s^8

(\frac{q^2}{p^4})^3=\frac{q^{2\cdot3}}{p^{4\cdot3}}=\frac{q^6}{p^}
Exposant négatif a-n a^{-n}=\frac{a^n} 4^{-2}=\frac{4^2}=\frac
\frac{a^{-n}}=a^n \frac{4^{-2}}=4^2=16
Exposant zéro   a0 a^0=1 15^0=1
Exposant un   a1 a^1=a 7^1=7   ,   1^=1
Exposant fractionnaire a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} 15^\frac=\sqrt[3]{15^2}

 

  • Règle du produit : lorsqu’on multiplie deux puissances ayant la même base, on garde la base et on additionne les exposants.

 

  • Règle du quotient : lorsqu’on divise deux puissances ayant la même base, on garde la base et on soustrait les exposants.

Cette règle peut également démontrer pourquoi a0 = 1 (exposant zéro a0) : \frac{a^2}{a^2}=a^{2-2}=a^0=1

 

  • Règle de la puissance : lorsqu’on élève une expression à une puissance, on multiplie chaque exposant à l’intérieur des parenthèses par la puissance à l’extérieur des parenthèses.

 

  • Exposant négatif : un exposant négatif est la réciproque du nombre à exposant positif.

 

  • Exposant fractionnaire : un exposant fractionnaire est une façon différente d’écrire une expression contenant un radical (ou racine). Pour connaître la puissance, on fait porter à la base l’exposant m, puis on trouve la racine n-ième du nombre.

 

Simplifiez (ne laissez pas d’exposants négatifs dans la réponse).

1) {\bf (-4)^1}=-4 a^1=a
2) {\bf (-2345)^0}=1 a^0=1
3) {\bf x^2x^3}=x^{2+3}=x^5 a^m\;a^n=a^{m+n}
4) {\bf \frac{y^6}{y^4}}=y^{6-4}=y^2 \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}
5) {\bf (x^4)^{-3}}=x^{4(-3)}=x^{-12}=\frac{x^} (a^m)^n=a^{mn}  ,  \frac{a^{-n}}=a^n
6) {\bf 7b^{-1}}=7\cdot \frac{b^1}=\frac{b} a^{-n}=\frac{a^n}  ,  a^1=a
7) {\bf (2t^3\cdot w^2)^4}=2^4 t^{3\cdot4}\cdot w^{2\cdot4}=16t^ w^8 (a^m \cdot b^n)^p=a^{mp}\;b^{np}
8) {\bf \frac{3^{-2}}}=3^2=9 \frac{a^{-n}}=a^n
9) {\bf \frac{7x^4y^{-5}}{9^0\cdot x^2y^3}}=\frac{7x^{4-2}y^{-5-3}}=7x^2y^{-8}=\frac{7x^2}{y^8} a^0=1  ,  \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}  ,  a^{-n}=\frac{a^n}
10) {\bf (\frac{e^{-3}f^2}{g^{-2}})^{-2}}=\frac{e^{(-3)(-2)}f^{2(-2)}}{g^{(-2)(-2)}}=\frac{e^6f^{-4}}{g^4}=\frac{e^6}{g^4f^4} (\frac{a^m}{b^n})^p=\frac{a^{mp}}{b^{np}}  ,  \frac{a^{-n}}=a^n

 

Simplifier.

1) \bf (3x^3y^2)^2 (2x^{-3}y^{-1})^3 (-248z^{-19})^0
=3^2x^{3\cdot2}y^{2\cdot2} \cdot 2^3x^{-3\cdot3} \cdot y^{-1\cdot3}\cdot1 Supprimer les parenthèses. (\frac{a^m}{b^n})^p=\frac{a^{mp}}{b^{np}} , a^0=1
=(3^2\cdot2^3)(x^6x^{-9})(y^4y^{-3}) Regrouper les coefficients et les variables.
=72x^{-3}y^1 Simplifier. a^m\;a^n=a^{m+n}
=\frac{72y}{x^3} Rendre l’exposant positif. a^{-n}=\frac{a^n} , a^1=a
2) \bf (\frac{(2x^4)(y^5)}{3x^3y^2})^2 (\frac{a^m}{b^n})^p=\frac{a^{mp}}{b^{np}}
=\frac{(2x^4)^2(y^5)^2}{(3x^3y^2)^2}
=\frac{2^2x^{4\cdot2}y^{5\cdot2}}{3^2x^{3\cdot2}y^{2\cdot2}} Supprimer les parenthèses. (a \cdot b)^n=a^n\;b^n
=\frac\cdot \frac{x^8}{x^6}\cdot \frac{y^}{y^4} Regrouper les coefficients et les variables.
=\fracx^2y^6 Simplifier. \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

 

Soit a = 2, b = 1, c = -1.

1) {\bf (-29a^{-5}b^4c^{-7})^0}=1 a^0=1
2) {\bf (\frac{a}{b})^{-4}}=(\frac)^{-4} Remplacer a par 2 et b par 1.
=\frac{2^{-4}}{1^{-4}}=\frac{1^4}{2^4}=\frac \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}  ,  a^{-n}=\frac{a^n}  ,  \frac{a^{-n}}=a^n
3) {\bf (a+b-c)^a}=[2+1-(-1)]^2=4^2=16 Remplacer a par 2, b par 1 et c par -1.

Notation scientifique

La notation scientifique est un moyen particulier d’exprimer de manière concise les très grands et les très petits nombres.

Exemple :       300 000 000 = 3 × 108 m/sec                             La vitesse de la lumière.

 

Notation scientifique : produit d’un nombre compris entre 1 et 10 et d’une puissance de 10.

Notation scientifique Exemple
N × 10±n 1 ≤ N < 10 67504,3 = 6,75043 × 104
n – nombre entier Forme standard Notation scientifique

 

Écrire un nombre en notation scientifique :

Étapes Exemples
  • Déplacer la virgule après le premier chiffre non nul.
  

Écrire en notation scientifique.

1)     2340000 = 2340000, = 2,34 × 106                                   6 positions vers la gauche,    × 10n

2)     0,000000439 = 4,39 × 10-7                                           7 positions vers la droite,   × 10-n

 

Écrivons les nombres suivants en forme standard.

1)     6,4275 ×104 = 64275

2)    2,9 × 10-3 = 0,0029

 

Exercices pratiques

1. Calculez :

2. Simplifiez (ne laissez aucun exposant négatif dans la réponse) :

3. Écrivez en notation scientifique :

4. Écrivez en forme standard :

 

 

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