1.2. Équations

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1.2. Équations

Équations

Équation : phrase mathématique contenant deux expressions et séparée par un signe d’égalité (les deux côtés de l’équation ont la même valeur).

Exemples : 4 + 3 = 7, 9x – 4 = 5, 2y – $\frac$ = y

Pour résoudre une équation, nous trouvons une valeur particulière pour la variable de l’équation qui rend l’équation vraie (côté gauche = côté droit).

Exemple : Pour l’équation x + 4 = 5

seul x = 1 peut être vrai, puisque 1 + 4 = 5 (côté gauche = côté droit).

Solution d’une équation : valeur de la variable dans l’équation qui rend l’équation vraie.

Exemple : Pour l’équation x + 4 = 5, x = 1 est la solution.

Indiquez si chacun des nombres donnés est une solution à l’équation donnée.

1) 2 : 4x – 3 = 5

4 ∙ 2 – 3 $\overset{?}{=}$ 5

5 $\overset{\checkmark}{=}$ 5

Oui

Remplacer x par 2.

2) 15 : $\frac{-3}$ y = -3

$\frac{-3}(15) \overset{?}{=}$ -3

-3 $\overset{\checkmark}{=}$ -3

Oui

Remplacer y par 15.

3) $\bf\frac$ : 8t = 3

8 ( $\frac$ ) $\overset{?}{=}$ 3

4 ≠ 3

Non

Impossible de remplacer t par $\frac$ .

Résolution d’équations

Règles de base pour la résolution d’équations à une étape :

Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser la même quantité des deux côtés d’une équation pour obtenir une équation valide.
Remarque : Toujours faire la même chose des deux côtés de l’équation (équilibre).

Propriétés pour la résolution d’équations :

Propriétés	Égalité	Exemples

Propriété d’addition d’une égalité	A = B A + C =* B* + C	Résoudre $x-6=3$ $x-\bcancel+\bcancel{\bf6}=3+\bf6$ x = 9
Propriété de soustraction d’une égalité	A = B A – *C =* B – C	Résoudre $y+5=-8$ $y+\bcancel-\bcancel{\bf5}=-8-\bf5$ y = -13
Propriété de multiplication d’une égalité	A = B A · *C =* B · C	Résoudre $\frac{m}=2$ $\bcancel{\bf9} \cdot \frac{m}{\bcancel}=2 \cdot \bf9$ m = 18
Propriété de division d’une égalité	A = B $\frac{A}{C}=\frac{B}{C}$ (C ≠ 0)	Résoudre $3n = –15$ $\frac{\bcanceln}{\bcancel{\bf3}}=\frac{-15}{\bf3}$ n = –5

Résoudre les équations suivantes.

1) $-9 + x = 5$	$-\bcancel + x+ \bcancel{\bf9} = 5 + \bf9$	Propriété d’addition.
	$x = 14$

Vérifier :	$-9 + {\bf14} \overset{?}{=} 5$ $5 \overset{\checkmark}{=} 5$	Remplacer x par 14.

2) $t+\frac=-\frac$	$y+\frac-\frac{\bf2}{\bf5}=-\frac-\frac{\bf2}{\bf5}$	Propriété de soustraction.
	$y=-\frac$

3) $\frac{-1}x = 7$	${\bf-6} \cdot \frac{-1}x=7(\bf-6)$	Propriété de multiplication.
	$x = -42$

4) $-5x = 30$	$\frac{-5x}{\bf-5}=\frac{\bf-5}$	Propriété de division.
	$x = -9$

Équation à plusieurs étapes : une équation dont la résolution nécessite plus d’une étape.

Procédure pour résoudre les équations à plusieurs étapes :

Effacer les fractions ou les décimales si nécessaire. Simplifier et supprimer les parenthèses si nécessaire. Combiner les termes semblables de chaque côté de l’équation. Rassembler les termes variables d’un côté de l’équation et les constantes de l’autre côté. Isoler la variable (pour obtenir la variable seule d’un côté de l’équation). Vérifier la solution à l’aide de l’équation originale.

Étapes Exemples
Résoudre $\bf\frac(y+10)=3y-\fracy$ Éliminer les dénominateurs si l’équation comporte des fractions. $\bcancel\cdot \frac{\bcancel5}(y+10)={\bf5}(3y)-{\bf\bcancel5}(\frac{\bcancel5}y)$ Multiplier chaque terme par 5. Supprimer les parenthèses. $y+10=15y-9y$ Combiner les termes semblables. $y+10=6y$ Rassembler les termes variables d’un côté et les constantes de l’autre. $y+\bcancel-\bcancel{\bf10}=6y-\bf10$ $y=6y-\bf10$ $y-{\bf6y}=\bcancel{6y}-10-\bcancel{\bf6y}$ Soustraire 10 des deux côtés. Soustraire 6y des deux côtés. Isoler la variable. $-5y=-10$ $y=\frac{-10}{-5}$ $y=2$ Diviser les deux côtés par 5. Vérifier la solution à l’aide de l’équation originale. $\frac(2+10)=3 \cdot 2-\frac \cdot 2$ $\bcancel\frac{\bcancel5}(2+10)=5 \cdot 3 \cdot 2-\bcancel \cdot \frac{\bcancel5} \cdot 2$ $(2+10)=30-18$ $12=12$ Remplacer y par 2. Multiplier chaque terme par 5. Côté gauche = côté droit (bonne réponse)

Équations avec décimales : multiplier chaque terme des deux côtés de l’équation par un multiple de 10 (10, 100, 1 000, etc.) pour supprimer les décimales (en vous basant sur le nombre ayant le plus grand nombre de décimales dans l’équation).
Étapes Exemples
Résoudre $\bf0,34x - 0,12 = -4,26x$ Multiplier chaque terme par 100 pour supprimer les décimales. ${\bf100}(0,34x) - {\bf100}(0,12) = {\bf100}(-4,26x)$ Le plus grand nombre de décimales est deux. Rassembler les termes variables d’un côté de l’équation et les constantes de l’autre côté. $34x-12 = -426x$ $34x + 426x = 12$ $460x = 12$ Ajouter 12 de chaque côté. Ajouter 426x de chaque côté. Isoler la variable. $x \approx 0,026$
Exemple 1.2.3

Résoudre 0,4y + 0,08 = 0,016	Le plus grand nombre de décimales est trois.
1000(0,4y) + 1000(0,08) = 1000(0,016)	Multiplier chaque terme par 1 000.
400y + 80 = 16	Combiner les termes semblables.
400y = -64	Diviser les deux côtés par 400.
y = – 0,16

Équations avec fractions :

Étapes	Exemples

Résoudre $\bf\frac{t}+\frac=-\frac{t}-\frac$

Multiplier chaque terme par le plus petit dénominateur commun.

${\bf12} \cdot \frac{t}+{\bf12} \cdot \frac={\bf12}(-\frac{t})-{\bf12} \cdot \frac$

$10t=-13$

Problèmes verbaux

Identification des mots-clés :

Lorsqu’on essaie de trouver l’opération correcte (+, –, ×, ÷, etc.) dans un problème verbal, il est important de prêter attention aux mots-clés, car ils fournissent des indices sur la marche à suivre.
L’identification des mots-clés et l’extraction des informations pertinentes sont des moyens efficaces pour résoudre les problèmes mathématiques verbaux.

Mots-clés ou indices dans les problèmes verbaux :

Addition (+)	Soustraction (–)	Multiplication (×)	Division (÷)	Égal à (=)

ajouter	soustraire	multiplier	divisé par	égal à
somme (de)	différence	produit	quotient	est
plus	enlever	multiplié par	sur	était
total (de)	moins	double	répartir	sont
ensemble	moins (de)	deux fois	rentrer dans	étaient
augmenté de	réduit de	trois fois	par	équivaut à
gain (de)	perte (de)	de	chaque	totaux
combiné	(montant) restant	combien (au total)	entre dans	donne
en tout	économies	combien	autant que	comme
supérieur à	retirer		sur	donne
complet	retrancher		ratio/taux	aboutit à
ensemble	inférieur (à)		pourcentage
plus (que)	combien de plus		partager
supplémentaire	combien de temps		moyenne

1) Edward a conduit de Prince George à Williams Lake (235 km), puis à Cache Creek (203 km) et enfin à Vancouver (390 km). Combien de kilomètres Edward a-t-il parcourus au total?

235 km + 203 km + 390 km = 828 km

Le mot clé : total (+)

2) Vendredi, Emma avait 150 dollars dans son portefeuille. Elle a acheté une pizza pour 15 dollars et une paire de chaussures pour 35 dollars. Combien d’argent lui reste-t-elle?

150 $ – 15 $ – 35 $ = 100 $

Le mot clé : reste (–)

3) Lucy a reçu de Marc un loyer mensuel de 950 $ pour les mois de septembre à novembre. Combien a-t-elle perçu au total?

950 $ $\cdot$ 3 = 2 850 $

Les mots-clés : combien… au total (×)

4) Julia va acheter à son oncle une voiture d’occasion d’une valeur de 7 500 $. Elle promet de payer 500 $ par mois. En combien de mois pourra-t-elle rembourser sa voiture?

7 500 $ ÷ 500 $ = 15 mois

Le mot clé : par (÷)

Étapes de la résolution des problèmes verbaux :

– Organiser les faits présentés dans le problème (créer un tableau ou un diagramme si cela permet de rendre le problème plus clair).

– Repérer la quantité inconnue (x = inconnue).

– Convertir des mots en symboles mathématiques et déterminer l’opération. Écrire une équation à partir de « mots-clés » ou d’« indices ».

– Estimer puis résoudre l’équation.

– Valider et indiquer la réponse. (Replacer la solution dans le problème initial pour confirmer qu’elle est logique.)

William a acheté 5 paires de chaussettes pour 4,35 $ chacune. Le caissier lui a facturé un supplément de 2,15 $ pour la taxe de vente. Il a quitté le magasin avec un maigre 5,15 $. Combien d’argent William avait-il au départ?

Organiser les faits (faire un tableau) :

5 paires de chaussettes	4,35 $ chacune
Taxe de vente	2,15 $
Argent restant	5,15 $

Déterminer l’inconnue : Combien d’argent William avait-il au départ? (x = ?)
Convertir des mots en symboles mathématiques et déterminer l’opération (trouver les mots-clés) :

Le coût total sans la taxe de vente :

Exemples supplémentaires :

James avait 96 jouets. Il en a vendu 13 le premier jour, 32 le deuxième jour, 21 le troisième jour, 14 le quatrième jour et 7 le dernier jour. Quel est le pourcentage de jouets non vendus?

Organiser les faits :

James avait	96 jouets
Nombre total de jouets vendus	13 + 32 + 21 + 14 + 7
Jouets non vendus	96 – nombre total de jouets vendus

Déterminer l’inconnue :	Soit x = pourcentage de jouets non vendus
Nombre total de jouets vendus :	13 + 32 + 21 + 14 + 7 = 87
Jouets non vendus :	96 – 87 = 9
Pourcentage de jouets non vendus :	x = $\frac{Jouets\,non\,vendus}{Nombre\,total\,de\,jouets}$ = $\frac \approx$ 0,094 = 9,4 %

Le réservoir d’essence de 60 litres de la voiture de Robert est à moitié plein. Kelowna est à environ 390 km de Vancouver et sa voiture consomme en moyenne 7 litres aux 100 km. Robert peut-il se rendre à Vancouver?

Soit x = litres de carburant nécessaires pour se rendre à Vancouver.
Le réservoir d’essence de 60 litres de la voiture de Robert est à moitié plein :

60 L × $\frac$ = 30 L

Robert a 30 litres d’essence dans son réservoir.

La voiture de Robert consomme en moyenne 7 litres aux 100 km, et Vancouver se trouve à environ 390 km de Kelowna.

$\frac{7L}{100 km} = \frac{x}{390 km}$	Proportion : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
(x)(100 km) = (7 L) (390 km)	Faire une règle de trois et trouver la valeur de x.
x = $\frac{(7 L)(390 km)}{100 km}$ = 27,3 L	Robert a besoin de 27,3 litres d’essence pour se rendre à Vancouver.