1.1. Introduction à l’algèbre

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1.1. Introduction à l’algèbre

Introduction

Révision des termes algébriques de base :

Terme algébrique	Description	Exemple

Expression algébrique

Phrase mathématique contenant des nombres, des variables (lettres) et des opérations arithmétiques (+, – , ×, ÷, etc.).

Terme

Un terme peut être une constante, une variable ou le produit d’un nombre et d’une variable. (Les termes sont séparés par un signe plus ou un signe moins).

Polynôme : expression algébrique contenant un ou plusieurs termes.

Exemples : 7x , 5ax – 9b , 6x2 – 5x + $\frac$ , 7a²+ 8b + ab – 5

Il existe des noms spéciaux pour les polynômes qui possèdent un, deux ou trois termes :

Monôme : expression algébrique qui ne contient qu’un seul terme.

Exemples : 9x , 4xy² , 0,8mn² , $\frac$ a²b

Binôme : expression algébrique qui contient deux termes.

Exemples : ax²+ bx + c , – 4qp² + 3q + 5

Combinaison de termes

Termes semblables : termes qui ont les mêmes variables et exposants (qui ne diffèrent que par leurs coefficients).

Exemples :

Exemples	Termes semblables et non semblables

7y et -9y	Termes semblables
6a², -32a² et –a²	Termes semblables
0,3x²y et -48x²y	Termes semblables
$\frac{-2}$ u²v³ et u²v³	Termes semblables
-8y et 78x	Termes non semblables
6m³ et -9m²	Termes non semblables
-9u³w² et -9w³u²	Termes non semblables

Combinaison de termes semblables : ajouter ou soustraire leurs coefficients et conserver les mêmes variables et exposants.

Remarque : Les termes non semblables ne peuvent pas être combinés.

Suppression des parenthèses

Si le signe précédant les parenthèses est positif (+), ne changez pas le signe des termes à l’intérieur des parenthèses, supprimez simplement les parenthèses.

Exemple : (x– 5) = x– 5

Si le signe précédant les parenthèses est négatif (-), supprimez les parenthèses et le signe négatif (devant les parenthèses), et changez le signe de chaque terme à l’intérieur des parenthèses.

Exemple : – (x– 7) = –x + 7

Supprimer les parenthèses :

Expression algébrique	Suppression des parenthèses	Exemples

(ax + b)	ax + b	(5x + 2) = 5x + 2
(ax – b)	ax – b	(9y – 4) = 9y – 4
– (ax + b)	–ax – b	– ( $\frac$ x + 7) = – $\frac$ x – 7
– (ax – b)	–ax + b	– (0,5b – 2,4) = –0,5b + 2,4

Multiplication et division d’expressions algébriques

Multiplication d’un monôme et d’un polynôme :

Utiliser la distributivité : a (b + c) = ab + ac
Multiplier les coefficients et additionner les exposants avec la même base. Appliquer a^maⁿ = a^m+n

Division d’un polynôme par un monôme :

Diviser le polynôme en plusieurs parties.
Diviser un monôme par un monôme. Appliquer $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ .

La méthode FOIL (développement) : une manière simple de trouver le produit de deux binômes (deux termes).

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd F O I L	Exemples

F – First terms (premiers termes)	premier terme × premier terme (a + b) (c + d)	(x + 5) (x + 4)
O – Outer terms (termes extérieurs)	terme extérieur x terme extérieur (a + b) (c + d)	(x + 5) (x + 4)
I – Inner terms (termes intérieurs)	terme intérieur x terme intérieur (a + b) (c + d)	(x + 5) (x + 4)
L – Last terms (derniers termes)	dernier terme x dernier terme (a + b) (c + d)	(x + 5) (x + 4)

La méthode FOIL (développement)	Exemple

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd	(x + 5) (x + 4) = x ∙ x + x ∙ 4 + 5x + 5 ∙ 4 = x² + 9x + 20
F O I L	F O I L

Multiplication de binômes (2 termes × 2 termes) :

F O I L

La méthode FOIL (développement).

$=10x^2-12x+15x-18$

aⁿ a^m = a^{n+ m}

$=10x^2+2x-18$

Combiner les termes semblables.

2) $(3r - t)(5r+t^2)=3r \cdot 5r+3r \cdot t^2-t \cdot 5r-t \cdot t^2$	Méthode FOIL (développement)
$=15r^2+3rt^2-5rt-t^3$	aⁿ a^m = a^n+m
$=18r^2+-5rt-t^3$	Combiner les termes semblables.

3) $(xy^2+y)(2x^2y+x)=xy^2 \cdot 2x^2y+xy^2 \cdot x+y \cdot 2x^2y+yx$	Méthode FOIL (développement)
$=2x^3y^3+x^2y^2+2x^2y^2+xy$	aⁿ a^m = a^n+m
$=2x^3y^3+3x^2y^2+xy$	Combiner les termes semblables.