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6.2.1 Intervalles pour moyennes et comparaison de moyennes

Le principal inconvénient à appliquer les équations de la partie 5 à des échantillons multiples est typiquement que la petite taille des échantillons se traduit par un petit nombre de degrés de liberté et de grandes valeurs de t dans la partie ± des formules d’intervalle – par conséquent, on se retrouve avec de grands intervalles. Mais grâce aux hypothèses du modèle à un facteur, il est possible d’obtenir des formules d’intervalles de confiance qui ont tendance à produire des intervalles plus petits.
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C’est-à-dire, dans un développement similaire à celui de la partie 5, et en suivant le modèle normal à un facteur, que
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T=\frac{\bar{y}_{i}-\mu_{i}}{\frac{s_{\mathrm{P}}}{\sqrt{n_{i}}}}
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présente une distribution t_{n-r}. Par conséquent, l’intervalle de confiance bilatéral pour la ie moyenne, \mu_{i}, a pour bornes
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6.2.1.1  Limites de confiance pour \mu_{i} basées sur le modèle à un facteur
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\bar{y}_{i} \pm t \frac{s_{\mathrm{P}}}{\sqrt{n_{i}}}
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où le niveau de confiance associé correspond à la probabilité assignée à l’intervalle entre -t et t dans la distribution t_{n-r}. Il s’agit de la même formule qu’à la partie 5, hormis le fait que s_{\mathrm{P}} a remplacé s_{i} et que les degrés de liberté sont passés de n_{i}-1 à n-r.
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De la même manière, pour les conditions i et i^{\prime}, la variable
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T=\frac{\bar{y}_{i}-\bar{y}_{i^{\prime}}-\left(\mu_{i}-\mu_{i^{\prime}}\right)}{s_{\mathrm{P}} \sqrt{\frac{n_{i}}+\frac{n_{i^{\prime}}}}}
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suit une distribution t_{n-r}. Par conséquent, l’intervalle de confiance bilatéral pour \mu_{i}-\mu_{i^{\prime}} a pour bornes
6.2.1.2  Limites de confiance pour \mu_{i}-\mu_{i^{\prime}} basées sur le modèle à un facteur
.
\bar{y}_{i}-\bar{y}_{i^{\prime}} \pm t s_{\mathrm{P}} \sqrt{\frac{1 }{n_{i}}+\frac{1 }{n_{i^{\prime}}}}
.
où le niveau de confiance associé correspond à la probabilité assignée à l’intervalle entre -t et t dans la distribution t_{n-r}. L’équation 6.2.1.2 reprend essentiellement la formule de la partie 5, hormis le fait que s_{\mathrm{P}} est calculé sur la base de r échantillons plutôt que deux, et qu’il y a n-r degrés de libertés plutôt que n_{i}+n_{i^{\prime}}-2.
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Évidemment, utiliser uniquement une borne de la formule 6.2.1.1 ou 6.2.1.2 donne un intervalle de confiance unilatéral, pour lequel le niveau de confiance associé correspond à la probabilité t_{n-r} assignée à l’intervalle (-\infty, t) (avec image0″ title= »t>0″ class= »latex mathjax »> ). L’avantage des formules 6.2.1.1 et 6.2.1.2 (lorsqu’on peut les appliquer), en comparaison avec les formules correspondantes de la partie 5, c’est que pour un niveau de confiance donné, elles ont tendance à produire des intervalles plus courts.
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Exemple 6.2.1.1 Intervalles de confiance pour moyennes et différences de moyennes des résistances à la compression du béton (suite)

Reprenons l’étude de résistance à la compression du béton d’Armstrong, Babb et Campen. Créons d’abord un intervalle de confiance bilatéral de 90 \% pour la résistance moyenne à la compression d’une seule formule de béton, puis un intervalle de confiance bilatéral de 90 \% pour la différence de résistance moyenne de deux formules. Étant donné que n=24 et r=8, il y a n-r=16 degrés de liberté associés à s_{\mathrm{P}}=581,6. Le quantile 0,95 de la distribution t_, à savoir 1,746, peut alors être utilisé dans les deux formules 6.2.1.1 et 6.2.1.2.
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Penchons-nous d’abord sur l’estimation d’une seule résistance moyenne à la compression; puisque tous les n_{i} valent 3, la partie ± de la formule 6.2.1.1 donne :
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t \frac{s_{\mathrm{P}}}{\sqrt{n_{i}}}=1,746 \frac{581,6}{\sqrt{ 3}}=586,3 \mathrm{psi}
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La précision de \pm 586,3 psi pourrait être rattachée à n’importe laquelle des moyennes d’échantillon du Tableau 6.2.1.1 comme estimation de la résistance moyenne de la formule correspondante. Par exemple, comme \bar{y}_3=4,527,3 psi, l’intervalle de confiance bilatéral de 90 \% pour \mu_ a pour bornes
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4 527,3 \pm 586,3
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soit :
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3,941,0 \mathrm{psi} \text { et } 5,113,6 \mathrm{psi}
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De la même manière, estimons la différence entre deux moyennes de résistances à la compression avec un niveau de confiance de 90 \%. Là encore, puisque tous les n_{i} valent 3, la partie ± de la formule 6.2.1.2 donne :
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t s_{\mathrm{P}} \sqrt{\frac{1 }{n_i}+\frac{1 }{n_{i^{\prime}}}}=1,746(581,6) \sqrt{\frac{ 1}{ 3}+\frac{ 1}{ 3}}=829,1 \mathrm{psi}
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La précision de \pm 829,1 psi pourrait être rattachée à n’importe quelle différence entre les moyennes d’échantillons du tableau 6.2.1.1 comme estimation des résistances moyennes de la différence des formules correspondante. Par exemple, étant donné que \bar{y}_3=4 527,3 psi et que \bar{y}_7=1 551,3 \mathrm{psi}, l’intervalle de confiance bilatéral de 90 \% pour \mu_3-\mu_7 a pour bornes
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(4 527,3-1 551,3) \pm 829,1
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soit :
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2 146,9 \mathrm{psi} \quad \text { et } \quad 3 805,1 \mathrm{psi}

Tableau 6.2.1.1 Résistance moyenne des échantillons de béton selon la formule

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L’utilisation de n-r=16 degrés de liberté dans l’exemple 6.2.1.1 plutôt que de n_{i}-1=2 et de n_{i}+n_{i^{\prime}}-2=4 reflète la baisse de l’incertitude associée à l’utilisation de s_{\mathrm{P}} pour estimer \sigma plutôt que l’utilisation de s_{i} et de s_{\mathrm{P}}, comme on le faisait avec deux échantillons. Cette réduction de l’incertitude vient avec une condition : elle n’est valide que pour les modèles de variances égales.

Licence

Introduction aux méthodes statistiques en ingénierie© par C. Bassim et Bryan Lee. Tous droits réservés.

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