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4.2.1 Distributions conjointes

Description des variables aléatoires discrètes conjointes

Pour plusieurs variables discrètes, on spécifie généralement les probabilités à l’aide d’une fonction de probabilité conjointe, qui se définit comme suit :
DÉFINITION 4.2.1.1. Fonction de probabilité conjointe
EXPRESSION 4.2.1.1
Une fonction de probabilité conjointe pour les variables aléatoires discrètes X et Y est une fonction non-négative f(x,y), qui calcule la probabilité queX prenne la valeur x et que Y prenne la valeur y (simultanément). Autrement dit,
f(x, y)=P[X=x \text { et } Y=y]

Exemple 4.2.1.1.  Distribution de probabilité conjointe de deux couples de boulons

Reprenons l’étude de Brenny, Christensen et Schneider sur la mesure, à l’entier le plus proche, du couple des boulons de la plaque avant d’un composant d’équipement lourd. Soient
X= le prochain couple enregistré pour le boulon 3
et
Y= le prochain couple enregistré pour le boulon 4
Les données présentées dans le tableau et la figure précédents suggèrent, par exemple, qu’une valeur raisonnable de P[X=18 et Y=18] pourrait être \frac{1 }{ 34}, la fréquence relative de cette paire dans l’ensemble de données. De même, les valeurs
\begin{aligned}& P[X=18 \text { et } Y=17]=\frac{2 }{ 34} \\& P[X=14 \text { et } Y=9]=0\end{aligned}
correspondent également aux fréquence relatives observées.
Si l’on est prêt à accepter que l’ensemble des fréquences relatives définies par les données des étudiant.e.s correspondent aux probabilités de X et de Y, ces probabilités peuvent être rassemblées de manière pratique dans un tableau à deux dimensions spécifiant une fonction de probabilité conjointe pour X et Y. Cette fonction est illustrée dans le tableau 4.2.1.1. (Pour alléger le tableau, les entrées « 0 » ont été laissées en blanc).

Tableau 4.2.1.1.

Propriétés d’une fonction de probabilité conjointe pour X et Y

La fonction de probabilité présentée sous forme de table dans le tableau 4.2.1.1 possède deux propriétés requises pour qu’elle soit mathématiquement cohérente : les valeurs de f(x, y) sont toutes comprises dans l’intervalle [0,1], et leur somme vaut 1. Pour obtenir la probabilité d’une configuration d’intérêt (X, Y) donnée, il suffit d’additionner les valeurs correspondantes de f(x, y).

 

Exemple 4.2.1.2 Exemple de couples de boulons (suite)

Utilisons la distribution conjointe du tableau 4.2.1.1 pour évaluer
\begin{aligned}& P[X\geq Y], \\& P[|X-Y|\leq 1], \\& \text { et } P[X=17]\end{aligned}
Commençons par P[X \geq Y], la probabilité que le couple du boulon 3 soit au moins aussi important que le couple du boulon 4. La figure 4.2.1.1 indique par des astérisques les combinaisons possibles de x et y qui satisfont ce critère, En se référant au tableau 4.2.1.1 et en additionnant les entrées correspondant aux cellules contenant des astérisques, on obtient :
\begin{aligned}P[X \geq Y]= & f(15,13)+f(15,14)+f(15,15)+f(16,16) \\& +f(17,17)+f(18,14)+f(18,17)+f(18,18) \\& +f(19,16)+f(19,18)+f(20,20) \\= & \frac{ 1}{ 34}+\frac{ 1}{ 34}+\frac{ 3}{ 34}+\frac{ 2}{ 34}+\cdots+\frac{ 1}{ 34}=\frac{ 17}{ 34}\end{aligned}
Un raisonnement similaire permet d’évaluer P[|X-Y| \leq 1]-la probabilité que les couples des boulons 3 et 4 se situent à 1 \mathrm{pi} \mathrm{lb} l’un de l’autre. La figure 4.2.1.2 illustre les combinaisons de x et y avec une différence absolue de 0 ou 1. Ensuite, on additionne les probabilités correspondant à ces combinaisons :
\begin{aligned}P[|X-Y| \leq 1]= & f(15,14)+f(15,15)+f(15,16)+f(16,16) \\& +f(16,17)+f(17,17)+f(17,18)+f(18,17) \\& +f(18,18)+f(19,18)+f(19,20)+f(20,20)=\frac{ 18}{ 34}\end{aligned}

Figure 4.2.1.1. Combinaisons des couples des boulons 3 et 4 pour lesquels [latex]x \geq y[/latex]

.

Figure 4.2.1.2. Combinaisons des couples des boulons 3 et 4 pour lesquels [latex]|x-y| \leq 1[/latex].
Enfin, P[X=17], la probabilité que le couple mesuré sur le boulon 3 soit 17 \mathrm{pi} \mathrm{lb}, s’obtient en additionnant la colonne x=17 dans le tableau 4.2.1.1. Autrement dit,
\begin{aligned} P[X=17] & =f(17,17)+f(17,18)+f(17,19) \\ & =\frac{ 1}{ 34}+\frac{ 1}{ 34}+\frac{ 2}{ 34} \\ & =\frac{ 4}{ 34} \end{aligned}

Obtenir une fonction de probabilité marginale à partir d’une fonction de probabilités conjointes à deux variables

Dans les problèmes à deux variables comme celui-ci, on peut additionner les colonnes d’un tableau à deux entrées de f(x, y) pour obtenir les valeurs de la fonction de probabilité de X, f_{X}(x). On peut également additionner les lignes du même tableau pour obtenir les valeurs de la fonction de probabilité de Y, f_{Y}(y). On peut alors inscrire ces sommes dans les marges du tableau à double entrée, d’où l’appellation « distributions marginales ». L’encadré qui suit définit la terminologie utilisée dans le cas d’un problème à deux variables discrètes.
DÉFINITION 4.2.1.2. Fonction de probabilité marginale
EXPRESSION 4.2.1.2
Les fonctions de probabilité individuelle des variables aléatoires discrètes X et Y obéissant à une fonction de probabilité conjointe f(x, y) sont désignées sous le terme fonctions de probabilité marginale. Elles sont obtenues en additionnant les valeurs de f(x, y) avec toutes les valeurs possibles de l’autre variable. Autrement dit, la fonction de probabilité marginale de X est
f_{X}(x)=\sum_{y} f(x, y)
et la fonction de probabilité marginale pour Y est
f_{Y}(y)=\sum_{x} f(x, y)
.

Example 4.2.1.3, suite.

Le tableau 4.2.1.2 est une copie du tableau 4.2.1.1, auquel on a ajouté les probabilités marginales de X et Y. En séparant les marges du tableau à double entrée, on obtient des tableaux de probabilités marginales dans le format habituel. Par exemple, la fonction de probabilité marginale de Y est présentée séparément dans le tableau 4.2.1.3 .

Tableau 4.2.1.2.

 

Tableau 4.2.1.3.

L’obtention de fonctions de probabilité marginales à partir de fonctions de probabilité conjointes soulève la question logique de savoir si le processus peut être inversé. Autrement dit, si f_{X}(x) et f_{Y}(y) sont connues, y a-t-il alors une seule option pour f(x, y)? De fait, non. La figure 4.2.1.3 montre deux distributions conjointes à deux variables très différentes qui possèdent néanmoins les mêmes distributions marginales. La différence marquée entre les distributions de la figure 4.2.1.3 est liée au comportement conjoint, plutôt qu’individuel, de X et de Y.

 

Figure 4.2.1.3. Deux distributions conjointes différentes avec les mêmes distributions marginales.

Licence

Introduction aux méthodes statistiques en ingénierie© par C. Bassim et Bryan Lee. Tous droits réservés.

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