Reconnu comme le « Prince des mathématiciens », le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855; figure 4.1.0.1) occupe une place prépondérante dans l’histoire des statistiques et des mathématiques. Gauss a apporté des contributions prodigieuses dans divers domaines, mais ses travaux sur les statistiques et la théorie des probabilités sont remarquables. Il est surtout connu pour avoir élaboré la méthode des moindres carrés et la distribution normale, également connue sous le nom de distribution gaussienne ou de courbe en cloche, essentielle pour l’analyse statistique dans divers domaines, des sciences sociales aux sciences naturelles en passant par l’ingénierie. La distribution normale est une distribution de probabilité symétrique qui décrit la manière dont une variable aléatoire continue peut être distribuée. Sa courbe caractéristique en forme de cloche apparaît lorsqu’un ensemble de données présente une fréquence élevée de valeurs proches de la moyenne, les fréquences diminuant progressivement au fur et à mesure que les valeurs s’éloignent de la moyenne. Elle est omniprésente parce qu’elle modélise naturellement de nombreux phénomènes du monde réel et parce que de nombreux processus et expériences aléatoires tendent à produire des données qui suivent une distribution normale. Son importance réside dans sa capacité à fournir un cadre simple, mais puissant, pour comprendre et interpréter les ensembles de données, ce qui en fait une pierre angulaire de l’analyse statistique.

Variables aléatoires continues

Il est souvent plus facile de considérer qu’une variable aléatoire n’est pas discrète mais plutôt continue, dans le sens où elle peut prendre n’importe laquelle des valeurs d’un intervalle continu. Les outils utilisés pour décrire les distributions de probabilités continues diffèrent de ceux de la dernière section. Pour commencer, nous allons la notion de fonction de densité de probabilité et sa relation avec la fonction
de probabilité cumulative pour une variable aléatoire continue, puis nous allons voir comment on peut l’utiliser pour calculer la moyenne et la variance d’une distribution continue. Nous passerons ensuite en revue quelques distributions utiles : la distribution uniforme, la distribution exponentielle et la distribution de Weibull.  Ensuite, nous nous attarderons sur la distribution continue la plus importante et la plus courante, utile dans les applications techniques de la théorie des probabilités : la distribution normale.