3.2.0 Introduction aux distributions de probabilités discrètes
La distribution de Poisson, qui doit son nom au mathématicien français Siméon Denis Poisson (1781-1840; figure 3.2.0.1), est une distribution de probabilité discrète qui exprime la probabilité qu’un nombre donné d’événements se produisent dans un intervalle de temps ou d’espace fixe, en supposant que ces événements se produisent avec un taux moyen constant connu et indépendamment du temps écoulé depuis le dernier événement. Une application historique célèbre de la distribution de Poisson est son utilisation pour analyser l’incidence des décès dus aux coups de sabot dans la cavalerie prussienne. Cet exemple est souvent cité pour illustrer la puissance et l’utilité de la distribution de Poisson dans la modélisation d’événements rares et aléatoires dans divers domaines.
Pour voir comment la distribution de Poisson a été utilisée afin de modéliser la mortalité due aux coups de sabot dans la cavalerie prussienne, consulter l’activité Jupyter Notebook sur GitHub : Poisson Distribution and the Prussian Cavalry.
Variables aléatoires discrètes
Comme nous l’avons vu, pour une variable aléatoire discrète, il suffit de spécifier une fonction de masse de probabilité attribuant une probabilité à chaque résultat ou événement possible. Pour la fonction de masse de probabilité, on définit une fonction de distribution cumulative évaluant la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur inférieure ou égale à une valeur donnée.
Principaux points à retenir
- Pour les variables aléatoires discrètes, une fonction de masse de probabilité définit la probabilité d’un événement à partir d’une expérience aléatoire.
Ces distributions de probabilités sont des outils ou des modèles théoriques qui facilitent la résolution des problèmes de probabilités. Chaque distribution a ses propres suppositions, caractéristiques et paramètres. Apprendre à les reconnaître permet de distinguer les différentes distributions et de choisir le meilleur modèle à utiliser. Parmi les fonctions de probabilité discrètes les plus courantes, citons les fonctions binomiale, géométrique, hypergéométrique et de Poisson.
Objectifs d’apprentissage
Objectifs d’apprentissage du module 3.2 :
- Reconnaître les variables aléatoires discrètes et les appliquer aux probabilités empiriques et théoriques.
- Reconnaître et comprendre les fonctions de distribution de probabilité discrètes et leurs suppositions.
- Calculer et interpréter l’espérance mathématique et les paramètres de distribution de la fonction de masse de probabilité.
- Comprendre la fonction de distribution cumulative et l’appliquer aux calculs.
- Reconnaître la distribution de probabilité binomiale et l’appliquer de manière appropriée.
- Reconnaître la distribution de probabilité de Poisson et l’appliquer de manière appropriée.
- Reconnaître la distribution géométrique des probabilités et l’appliquer de manière appropriée.
- Reconnaître la distribution de probabilité hypergéométrique et l’appliquer de manière appropriée.