"

5 Valeur Absolue

\bullet\quad La valeur absolue de  a\in \mathbb{R} est le nombre |a| défini par

    \[ |a| = \left\{\begin{matrix} a & \hbox{ si } \quad a\geqslant 0 \\ \\ - a & \hbox{ si } \quad a < 0\end{matrix}\right.\]

\bullet\quad |a-b|  est la  distance  entre les nombres réels  a et b.

 

\bullet\quad | - a| = |a| \qquad \qquad \qquad \sqrt{a^2} = |a|\qquad \qquad \qquad | a .b |= |a| . |b|

    \[ \qquad| a+ b| \leqslant |a| + |b| \qquad \hbox{ inégalité triangulaire} \]

 

Voir la Vidéo


Voir sur YouTube

 

Afficher les Exemples

 

Exercice 1

Afficher/Masquer Solution.

La distance entre a et b est égale à d(a,b) = |a-b| où

| a - b | = a - b \quad si \quad a\geq b \quad et

| a- b | = - a + b \quad si \quad a\leq b.

 

Exercice 2

 

Exercice 3

Afficher/Masquer Solution.

Pour la derrière expression, on a

\displaystyle{ |(-8)- 5| -2 |-3| + | 3(-4)| -\Big| \frac{10}{-2}\Big| - \frac{|-15|}{-3} + 0.5 + \frac{1}{4} |-2| }

\displaystyle{= |-13| -6+ | -12| -\Big|-5\Big| +5 + 0.5 + 0.25 (2) }
= 13 -6 +12 - 5 +5 + 1= 20.

 

Exercice 4

Afficher/Masquer Solution.

* Pour x\geq 5, on a |x-5| = x-5, alors

|x-5| = x+5 \quad \Leftrightarrow \quad x-5 = x+5 \quad \Leftrightarrow \quad -5 = 5

entraîne une contradiction.

** Pour x< 5, on a |x-5| = -(x-5) = 5- x, alors

|x-5| = x+5 \quad \Leftrightarrow \quad -x+5 = x+5 \quad \Leftrightarrow \quad x = 0.

*** Conclusion. L’égalité est vraie, seulement, pour x=0.

 

Exercice 5

Afficher/Masquer Solution.

On a

- |- 4 - x^2| = - |-(4+x^2)| = - |-1| |4 + x^2| = - (1) |4 + x^2|.

Comme 4 + x^2\geqslant 4 >0, on déduit que |4 + x^2| = 4 + x^2.

Donc, l’affirmation est vraie.

Licence

Symbole de Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International

Guide de Révision du Pré-calcul Droit d'auteur © 2025 par Samia CHALLAL est sous licence Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International, sauf indication contraire.

Partagez ce livre