Union, Intersection et Intervalles

Samia CHALLAL

4 Union, Intersection et Intervalles

$\bullet$ Ensembles

Un ensemble est une collection d’objets bien définis, appelés éléments.

Si $A$ est un ensemble et $a$ un élément de $A$ , on note $a\in A$ .

Si $b$ n’est pas un élément de $A$ , on note $b\not\in A$ .

L’ensemble vide, noté, $\emptyset$ , ne contient aucun élément.

$\bullet$ Sous ensembles

Un ensemble $A$ est un sous ensemble de l’ensemble $B$ si chaque élément de $A$ est un élément de $B$ et on note $A\subset B$ .

$A\subset B \qquad \Longleftrightarrow \qquad \Big( \forall x\in A \quad \Rightarrow \quad x\in B \Big)$

$\emptyset \subset A \hbox{ pour tout ensemble } A. \qquad \qquad \qquad A \subset A$

$\qquad \qquad\Big( A \subset B \quad \hbox{ et } \quad B \subset C\quad \Rightarrow A \subset C \Big)$

$\bullet$ Opérations sur les ensembles

$\begin{matrix} A\cup B= \{ x : x\in A \quad \hbox{ ou }\quad x\in B\} \qquad \qquad \hbox{ union de } A \hbox{ et } B \\ \\ A\cap B= \{ x : x\in A \quad \hbox{ et } \quad x\in B\} \qquad \qquad \hbox{ intersection de } A \hbox{ et } B\\ \\ A\setminus B= \{ x : x\in A \quad \hbox{ et }\quad x\not\in B\} \qquad \qquad \hbox{ différence de } A \hbox{ et } B \\ \\ A^c= \{ x : x\in U\quad \hbox{ et } \quad x\not\in A\} \qquad \qquad \hbox{ complémentaire de } A \hbox{ dans } U\\ \\ A \times B= \{ (x,y) : x\in A\quad \hbox{ et } \quad y\in B\} \qquad \qquad \hbox{ produit cartésien de } A \hbox{ et } B \\ \\ \qquad\qquad\qquad \qquad A\times A= A^2\end{matrix}$

$\bullet$ Intervalles

$\begin{matrix} (a,b)= \{ x : \quad a< x< b\} \qquad \qquad \qquad (a,+\infty)= \{ x : \quad a< x\}\\ \\ [a,b]= \{ x : \quad a \leqslant x\leqslant b\}\qquad \qquad \qquad [a,+\infty)= \{ x : \quad a \leqslant x\} \\ \\ [a,b)= \{ x :\quad a \leqslant x< b\} \qquad \qquad \qquad (-\infty,b)= \{ x : \quad x< b\}\\ \\ (a,b]= \{ x :\quad a<x \leqslant b\} \qquad \qquad \qquad (-\infty,b] = \{ x : \quad x \leqslant b\}\\ \\ (-\infty,+\infty)= \mathbb{R}\qquad \qquad \hbox{ ensemble des nombres reels } \end{matrix}$