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28 Domaine d’une fonction

D_f  est appelé le domaine de  f:   D_f =\{ x\in \mathbb{R} : \, \, f(x) \in \mathbb{R}\}

 

Exemple.   Si   P(x)  et  Q(x)  sont des polynômes,  alors

\qquad\bullet\quad  f(x) = P(x) \quad \Longrightarrow \quad D_f = \mathbb{R}

\qquad\bullet\quad f(x) = \displaystyle{\frac{P(x)}{Q(x)} } \quad \Longrightarrow \quad D_f =\{ x\in \mathbb{R} : \, \, Q(x) \neq 0 \}

\qquad\bullet\quad  f(x) = \sqrt{P(x) } \quad \Longrightarrow \quad D_f = \{ x\in \mathbb{R} : \, \, P(x) \geqslant 0 \}

 

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Exercice 1

 

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On a f(x) = \displaystyle{\frac{ 1 }{ 3 -\sqrt{x+1}}}

\displaystyle{D_f= \{ x \in \mathbb{R} : \qquad x+1\geqslant 0, \qquad 3 -\sqrt{x+1}\neq 0\}= [-1, 8)\cup (8 , + \infty) }

car, on a

    \[ 3 -\sqrt{x+1}= 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 9= x+ 1 \quad \hbox{ avec } \quad x+1\geqslant 0\]

    \[ \quad \Longleftrightarrow \quad x=8 \quad \hbox{ et } \quad x\geqslant -1 \]

    \[\quad \Longleftrightarrow \quad x=8 .\]

 

Exercise 2

 

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On a

    \[ D_f= \{ x \in \mathbb{R} : \quad 2-\cos x\neq 0 \}= \mathbb{R} \]

car, on a

    \[-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 \leqslant -\cos x \leqslant 1\]

    \[ \quad \Longleftrightarrow \quad 1\leqslant 2 -\cosx \leqslant 3 \]

    \[ \quad \Longrightarrow \quad 2-\cos x\neq 0 \quad \forall x\in \mathbb{R} .\]

 

Exercise 3

 

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On a f(x) = \displaystyle{\sqrt{\frac{x- 3x^2}{x+1}}}

\displaystyle{D_f= \{ x \in \mathbb{R} : \quad {\frac{x- 3x^2}{x+1}}\geqslant 0 , \qquad x+1\neq 0\}= (- \infty, -1)\cup [0 , 1/3] }

car, on a

    \[\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline x & -\infty & \hskip 1cm & -1 & \hskip 1cm & 0 & \hskip 1cm & 1/3 & \hskip 1cm & +\infty \\ \hline x(1-3x)& & - & & - & & + & & - & \\ \hline x+1 & & - & & + & & + & & + & \\ \hline \displaystyle{\frac{x- 3x^2}{x+1}} & & + & & - & & + & & - & \\ \hline \end{array}\]

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Guide de Révision du Pré-calcul Droit d'auteur © 2025 par Samia CHALLAL est sous licence Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International, sauf indication contraire.

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