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25 Cercles

Un cercle de centre  P_0 (x_0, y_0)  et de rayon r>0  est l’ensemble des points P(x,y) dans le  plan \mathbb{R}^2 qui sont situés  à  la  distance   r de  P_0.

L’équation du cercle est obtenue  par :

    \[ \|P_0P\| = r \quad \Longleftrightarrow \quad \|P_0P\|^2 = r^2 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2.\]

Le cercle unité  est le  cercle de centre  (0,0) et de rayon 1, décrit par l’équation:      x^2 + y^2 =1.

 

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Exercice 1

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Le rayon est égale à la longueur du segment de droite joignant le centre et le point de rencontre ({5},0) avec l’axe des x.

En utilisant la formule de la distance, on obtient

r= \displaystyle{ \sqrt{ ( {5} - ( {5}) )^2 + ( {-2} -( {0}))^2} = |{-2}|= {2} }

L’équation du cercle est donnée par :

\displaystyle{ \Big( x-( {5} ) \Big)^2 + \Big( y- ({-2} ) \Big)^2 ={4} }.

 

Exercice 2

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En complétant les carrés parfaits, on obtient:

(x -{2})^2 - ({2})^2 + (y+{5})^2 - (-{5})^2 = {-16}
\quad \Longleftrightarrow \quad (x -{2})^2 + (y+{5})^2 = {-16} + ({2})^2 + ({5})^2= {13}

Le centre est point ({2}, {-5}) et le rayon est R=\sqrt{13}.

 

Exercice 3

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Les coordonnées du centre sont ({7}, {-1}).

L’équation du cercle est donnée par :

\displaystyle{ \Big( x - (7) \Big)^2 + \Big( y-{(1)} \Big)^2 = {2^2} }

ou bien \qquad (x-7)^2 +(y+1)^2 =4.

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Guide de Révision du Pré-calcul Droit d'auteur © 2025 par Samia CHALLAL est sous licence Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International, sauf indication contraire.

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