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2 Addition et multiplication de réels

\bullet    Deux opérations,  addition et multiplication, sont définies  sur   \mathbb{R}  et satisfont les lois de

    \begin{eqnarray*} &&\textbf{fermeture} \qquad \forall u,v \in \mathbb{R} \qquad \Longrightarrow \qquad u+v \in \mathbb{R} \quad \hbox{ et } \quad u v \in \mathbb{R} \\ \\ &&\textbf{commutativité} \qquad \forall u,v \in \mathbb{R} \qquad \Longrightarrow \qquad u+v= v+ u \quad \hbox{ et } \quad u v= v u \\ \\ &&\textbf{associativité} \qquad \forall u,v, w \in \mathbb{R} \qquad \Longrightarrow \qquad (u+v)+w= u + (v+w) \quad \hbox{ et } \quad (u v) w = u (v w) \\ \\ &&\textbf{distributivité} \qquad \forall u,v, w \in \mathbb{R} \qquad \Longrightarrow \qquad u (v+ w)= u v + u w \quad \hbox{ et } \quad (u+ v) w = u w + v w \\ \\ &&\textbf{élément neutre} \qquad \forall u\in \mathbb{R} \quad \Longrightarrow \quad u+0 = 0+ u=u \quad \hbox{ et } \quad 1. u = u. 1 = u \\ \\ &&\textbf{inverse} \qquad * \quad \forall u\in \mathbb{R} \quad\exists\,\, -u\in \mathbb{R} \quad \hbox{ tel que }\quad u+(-u) = (-u)+ u=0 \\ \\ &&\qquad \qquad \qquad *\quad \forall u\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \quad\exists\,\, u^{-1}\in \mathbb{R} \quad \hbox{tel que }\quad u^{-1}. u = u. u^{-1} = 1\\ \\ &&\qquad\qquad\qquad - u \quad \hbox{ est l'opposé de } u , \qquad \qquad u^{-1} \quad \hbox{ est l'inverse de } u.\end{eqnarray*}

\bullet  Les  propriétés suivantes sont vraies pour tout     u,\, v,\, w\in \mathbb{R}

    \begin{eqnarray*} && \quad v+ u = v+w \qquad\Longrightarrow\qquad u= w \qquad \hbox{(simplification)} \\ \\ && \quad \hbox{L'équation } \quad x+ v= u \quad \hbox{a l'unique solution } \quad x= u-v \\ \\ && \quad 0 . v = v. 0 = 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \\ && \quad (-1) \,v = - v \\ \\ && \quad u. v =0 \qquad\Longrightarrow\qquad u= 0 \qquad \hbox{ ou } \qquad v=0 \end{eqnarray*}

\bullet  L’opération de  soustraction  est définie par  :  \qquad u-v = u+ (-v)

\bullet  L’opération de  division est définie par  :    \qquad\displaystyle{\frac{u}{v}= u \div v = u. v^{-1}}  et satisfait

    \[ -\frac{u}{v} = \frac{-u}{v}=\frac{u}{-v} = - \frac{-u}{-v}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{-u}{-v}= \frac{u}{v} \]

    \[ \frac{u}{v}= \frac{s}{t} \qquad \Longleftrightarrow\qquad u t = v s \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad \frac{u}{v}= \frac{ku}{kv}\qquad \forall k \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\]

 

 

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Exercice 1

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i) \quad On a

\displaystyle{\Big( {3} + \frac{{1}}{{5}} \Big) \Big( {2} - \frac{{5}}{{3}}\Big) = ({3})({2}) - \frac{ ({3}). ({5}) }{{3}} +\frac{({1})({2}) }{{5}} -\frac{({1})({5}) }{({5})({{3}})} }

\displaystyle{= \frac{1}{ ({5}) ({3}) } \Big[ ({3})({2}) ({5})({3}) - ({3}). ({5}).({5}) + ({1})({2}) ({3}) - ({1})({5}) \Big] =\frac{{16}}{{15}} }.

 

ii) \quad On a

\displaystyle{ \Big( \frac{{2}}{{3}} - \frac{{1}}{{6}}\Big) \Big( \frac{{2}}{{3}} + \frac{{1}}{{6}} \Big) = (\frac{ {2} }{ {3} } )^2 - (\frac{ {1} }{ {6} } )^2 = \frac{({2})^2}{({3})^2} - \frac{({1})^2}{({6})^2} = \frac{({2})^2({6})^2 - ({3})^2 ({1})^2 }{({3})^2 ({6})^2} = \frac{{135}}{{324}} }.

 

iii) \quad On a

\displaystyle{ \frac{{4}}{{5}} \Big(\frac{{3}}{{4}} - \frac{{1}}{{3}} \Big) = \frac{{4}}{{5}} .\frac{({3})({3}) - ({4}) ({1}) }{({4}) ({3})} =\frac{ {4}(({3})({3}) - ({4}) ({1}) )}{({5})({4}) ({3})}=\frac{{20} }{{60}} }.

 

Exercice 2

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i) \quad Contre-exemple:

2 \in \mathbb{N}  et 5 \in \mathbb{N}, mais  2- 5= - 3 \not\in \mathbb{N}.

2 \in \mathbb{N},  mais 2- 2= 0\not\in \mathbb{N}.

 

ii) \quad Contre-exemple:

\sqrt{2} \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} mais \sqrt{2} . \sqrt{2} = 2 \not\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} .

 

iii) \quad Soienta\in \mathbb{Q} et b\in \mathbb{Q}. On a

a= \frac{m}{n} , \quad \quad b=\frac{k}{l}  avec  m, n, k, l \in \mathbb{Z}  et  n, \, l \not= 0.

Alors

a. b = \frac{m}{n} . \frac{k}{l} = \frac{m k}{n l} \in \mathbb{Q}

car  m k \in\mathbb{Z}  et  n l \in\mathbb{Z} avec n. l \not= 0.

 

Exercice 3

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i) \quad On a

\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{{7}} }{ \frac{1}{{2}} + \frac{1}{{3}} } = \frac{ \frac{1}{{7}} }{ \frac{{2}+{3}}{({2}) ({3})} }=\frac{1}{{7}}. \frac{({2}) ({3})}{{2}+{3}}= \frac{({2}) ({3})}{({7})( {2}+{3})} =\frac{{6}}{{35}} }.

ii) \quad On a

\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{{6}} + \frac{1}{{3}} }{ \frac{1}{{4}} + \frac{2}{5} } = \frac{5({4}) ({3}+ {6}) }{ ({6}) ({3}) (5 + 2 ({4}) ) } = \frac{{180}}{{234}} }.

iii) \quad  On a

\displaystyle{ \frac{ 2}{\frac{1}{{2}} } - \frac{\frac{2}{{8}}}{2} } = 2 ( {2}) - \frac{1}{{8}} = \frac{2 ({2}) ({8}) -1 }{ {8}} = \frac{{31}}{{8}} } .

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Guide de Révision du Pré-calcul Droit d'auteur © 2025 par Samia CHALLAL est sous licence Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International, sauf indication contraire.

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