Graphes

Samia CHALLAL

29 Graphes

Courbe plane : C’est le graphe d’une équation à deux variables; l’ensemble de tous les points $(x,y)$ qui satisfont l’équation.

En particulier, le graphe d’une fonction $f$ est l’ensemble

$G_f= \{ (x,y): \,\, y= f(x) \,\, \hbox{ et } \,\,x\in D_f\}$

abscisse à l’origine = l’abscisse $x$ d’un point où le graphe rencontre l’axe des abscisses $x$ .
ordonnée à l’origine = l’ordonnée $y$ d’un point où le graphe rencontre l’axe des ordonnées $y$ .

Symétrie : un graphe $G$ est

– symétrique par rapport à l’axe des $y$ si : $\qquad \,\, (a,b) \in G \quad \Longleftrightarrow\quad (-a, b)\in G$

– symétrique par rapport à l’axe des $x$ si : $\qquad \,\, (a,b) \in G \quad \Longleftrightarrow\quad (a, -b)\in G$

– symétrique par rapport à l’origine si : $\qquad \,\, (a,b) \in G \quad \Longleftrightarrow\quad (-a, -b)\in G$

– symétrique par rapport à la droite $y= x$ si : $\qquad \,\, (a,b) \in G \quad \Longleftrightarrow\quad (b, a)\in G$

Test de la droite verticale : Une courbe plane est le graphe d’une fonction si et seulement si aucune droite verticale ne rencontre la courbe plus d’une fois.

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Exercice 1

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Figure A est le graphe d’une fonction car la règle de la droite verticale est satisfaite.

Figure B n’est pas le graphe d’une fonction car la règle de la droite verticale n’est pas satisfaite.

Figure C est le graphe d’une fonction car la règle de la droite verticale est satisfaite.

Figure D ne peut être le graphe d’une fonction car la droite verticale $x = 1$ rencontre la courbe en deux points distincts $(1, y_1)$ et $(1, y_2)$ .

Figure E est le graphe d’une fonction car la règle de la droite verticale est satisfaite.

Figure F n’est pas le graphe d’une fonction car la règle de la droite verticale n’est pas satisfaite.

Exercice 2

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Posons $x=0$ , alors $y^2={25}$ . Donc $y=\pm {5}$ sont les ordonnées à l’origine.

Posons $y=0$ , alors $\displaystyle{ x^2=\frac{{25}}{{25}} = 1 }$ . Donc $\displaystyle{ x=\pm 1 }$ sont les abscisses à l’origine.

nbsp;

Exercice 3

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Posons $y=0$ , alors ${3} | x|={12}$ . Donc $\displaystyle{ x= \pm \frac{{12}}{{3}} }$ sont les abscisses à l’origine.

Posons $x=0$ , alors $y=-{12}$ . Donc $y=-{12}$ est l’ordonnée à l’origine.

nbsp;

Exercice 4

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* Substituer $-y$ pour $y$ : ${a} x^2 + (- y)^2 = {a} x^2 + y^2 = {b}$ .

Comme l’équation n’a pas changé, le graphe a une symétrie par rapport à l’axe des $x$ .

* Substituer $-x$ pour $x$ : ${a} (-x)^2 + y^2= {a} x^2 + y^2 = {b}$ .
Comme l’équation n’a pas changé, le graphe a une symétrie par rapport à l’axe des $y$ .

* Substituer $-x$ pour $x$ et $-y$ pour $y$ : ${a} (-x)^2 +(- y)^2 = {a} x^2 + y^2 = {b}$ .

Comme l’équation n’a pas changé, le graphe a une symétrie par rapport l’origine.

nbsp;

Exercice 5

Show/Hide Solution.

* Substituer $-y$ pour $y$ : $-y = {5} x - {6}$ .

Comme l’équation a changé, le graphe n’a pas de symétrie par rapport à l’axe des $x$ .

* Substituer $-x$ pour $x$ : $y={5} (-x) - {6} = - {5} x - {6}$ .
Comme l’équation a changé, le graphe n’a pas de symétrie par rapport à l’axe des $y$ .

* Substituer $-x$ pour $x$ et $-y$ pour $y$ : $-y = - {5} x - {6} \Leftrightarrow y = {5} x + {6}$ .

Comme l’équation a changé, le graphe n’a pas de symétrie par rapport à l’origine.

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