23 Coordonnées et Distance

Soit O un point fixe dans le plan, appelé l’origine.

Deux droites perpendiculaires passant par O sont appelées axes de coordonnées et notées axe des $x$ , et axe des $y$ .

Les axes divisent le plan en 4 parties, appelées $1^{er}$ , $2^{eme}$ , $3^{eme}$ et $4^{eme}$ quadrant.

Un point $P$ du plan est représenté par le couple ordonné $(a,b)$ de nombres réels $a$ et $b$ , appelés coordonnées de $P$ . $a$ est la coordonnée des abscisses $x$ , $b$ est la coordonnée des ordonnées $y$ .

$|a|$ est la distance de $P$ à l’axe des $y$ , $|b|$ est la distance de $P$ à l’axe des $x$ .

La distance entre deux points $P_1(x_1,y_1)$ et $P_2(x_2,y_2)$ est donnée par: $\|P_1 P_2\|= \sqrt{ (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ .

Les coordonnées du point milieu du segment de droite joignant $P_1(x_1,y_1)$ et $P_2(x_2,y_2)$ sont données par: $\displaystyle{\Big( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\Big)}$

Voir la Vidéo

Voir sur YouTube

Afficher les Exemples

Exercice 1

Exercice 2

Afficher/Masquer Solution.

Les coordonnées du milieu du segment joignant les deux points $A= ({4}, {-1})$ et $B= ({-2}, {-3})$ sont

$\displaystyle{\Big( \frac{4+(-2)}{2}, \frac{ -1 +(-3)}{2} \Big) = \Big( 1, -2 \Big) }.$

Exercice 3

Afficher/Masquer Solution.

La longueur des côtés du triangle $ABC$ sont:

$AB= \sqrt{ (1-(-1))^2 + (3-(2))^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$AC= \sqrt{ (1-5)^2 + (3-(-5))^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$

$CB= \sqrt{ (5-(-1))^2 + (-5-(2))^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$

On a $CB^2 = AB^2 + AC^2 =85$ .

Alors, d’après le théorème de Pythagore, $ABC$ est un triangle droit en $A$ .

Exercice 4

Afficher/Masquer Solution.

La distance entre le point $A ({a}, {b})$ et l’origine est donnée par

$\sqrt{ ( {a} -0 )^2 + ( {b}-0 )^2 } = \sqrt{ a^2 + b^2 }.$

La distance entre le point $B({b}, {a})$ et l’origine est donnée par

$\sqrt{ ( {b} -0 )^2 + ( {a}-0 )^2 } = \sqrt{ b^2 + a^2}.$

Donc, les points $A({a}, {b})$ et $B({b}, {a})$ sont à la même distance que l’origine.

Exercice 5

Afficher/Masquer Solution.

La distance du point $S =(-2,3)$ à l’axe des $x$ est

$\sqrt{ ( {-2} - ({-2}) )^2 + ( {3} - ({0}) )^2 } = \sqrt{ {0} + {9} } =\sqrt{ {9} } =3.$

La distance du point $S =(-2,3)$ à l’axe des $y$ est

$\sqrt{ ( {-2} - ({0}) )^2 + ( {3} - ({3}) )^2 } = \sqrt{ {4} + {0} } =\sqrt{ {4} } =2.$

Licence

Symbole de Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International

Guide de Révision du Pré-calcul Droit d'auteur © 2025 par Samia CHALLAL est sous licence Licence Creative Commons Attribution - Pas d’utilisation commerciale - Pas de modification 4.0 International, sauf indication contraire.

Partagez ce livre