Simplifier des Expressions Rationnelles

Samia CHALLAL

14 Simplifier des Expressions Rationnelles

* Une expression rationnelle est une expression qui peut être simplifiée sous la forme $\displaystyle{ \frac{P}{Q} }$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes.

* Pour simplifier une expression rationnelle, on :

– regroupe les numérateurs et les dénominateurs en un quotient simple, puis on divise:

$\displaystyle{ \frac{\frac{P}{Q}}{\frac{S}{T}} = \frac{P}{Q} . \frac{T}{S}}$

– réduit au même dénominateur : $\displaystyle{ \frac{P}{Q} + \frac{S}{T} = \frac{P T + Q S }{ST} }$

– réduit en termes d’ordre inférieure : $\displaystyle{ \frac{N.R}{D.R} = \frac{N}{D} }$

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Exercice 1

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On a

$x^2 -{6}x + {8} = (x-{2})(x-{4})$

$x^2 +{6}x -{16} = (x-{2})(x+{8}).$

En simplifiant le facteur commun $(x-{2})$ , on obtient

$\displaystyle{\frac{x^2 -{6}x + {8} }{ x^2 +{6}x -{16}} = \frac{(x-{2})(x-{4})}{(x-{2})(x+{8})} =\frac{x-{4}}{x+{8}}}$ .

Exercice 2

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On a

$\displaystyle{\frac{ (x-{4})( {3}x+ {2} ) }{ x^3-{64} } }$ = $\displaystyle{\frac{ (x-{4})( {3}x+ {2} ) }{(x-{4}) (x^2 +{4}x + {16}) } }$ = $\displaystyle{\frac{ {3}x+ {2} }{x^2 +{4}x + {16} } }$ .