Sophie Germain, mathématicienne (1776-1831)

Philippe Etchecopar

5 Sophie Germain, mathématicienne (1776-1831)

Philippe Etchecopar

Une des premières mathématiciennes de l’époque moderne, étudiante clandestine, Sophie Germain n’a pas hésité à s’attaquer à certains des problèmes mathématiques les plus complexes.

Une enfance en bibliothèque

Sophie Germain est née le 1er avril 1776 à Paris dans un monde en changement. C’était le siècle des Lumières et de l’émergence de la science moderne marquée par l’édition, entre 1751 et 1772, de la Grande Encyclopédie de Diderot à laquelle a participé le mathématicien D’Alembert. C’était aussi le temps des révolutions, avec l’indépendance américaine proclamée le 4 juillet 1776 et l’annonce de l’écroulement de l’Ancien régime en France. Le père de Sophie Germain, négociant en tissus, plus tard député du Tiers État en 1789 puis directeur de la Banque de France, créée par Napoléon en 1800, allait faire partie de cette bourgeoisie qui allait supplanter la noblesse et prendre le pouvoir.

Si on pouvait parler de révolution en sciences et en politique, ce n’était pas le cas dans le domaine des mœurs! Les sciences étaient une affaire d’homme, les femmes étaient cantonnées, elles, aux seules sciences ménagères! Dans ces temps troublés, le père de Sophie veilla à ce que sa fille restât à la maison. Sophie Germain passa ainsi sa jeunesse dans la bibliothèque de son père.

Une lecture l’a profondément marquée à l’âge de 13 ans : la vie et la mort d’Archimède. Selon la légende, Archimède traçait des cercles sur le sable lorsqu’un soldat romain lui fit de l’ombre en passant. « Ne dérange pas mes cercles » lui aurait dit Archimède. Le soldat le prit mal et le tua.

Elle se passionna ainsi pour l’œuvre d’Archimède et pour les mathématiques.

Une étudiante clandestine

Sophie aurait aimé étudier les mathématiques à l’École Polytechnique, qui venait d’être créée, mais l’école était interdite aux femmes (les filles ne purent accéder à l’École Polytechnique qu’après 1970 dans la foulée de mai 68, tandis que la première professeure n’y fut nommée qu’en 1992). Elle se procura plutôt les notes de cours et échangea par écrit avec certains des professeurs, dont Lagrange, en prenant le nom d’Antoine Auguste Le Blanc. C’était son seul moyen d’être prise au sérieux car les scientifiques de l’époque ne concevaient pas qu’une femme puisse s’intéresser aux sciences, encore moins y exceller.

Un défi en mathématiques pures : le Théorème de Fermat

Exceller au point de s’attaquer au fameux Théorème de Fermat, sujet par excellence en mathématiques pures.

Vers 1670 le mathématicien Fermat pose une hypothèse fameuse : Il n’existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que xª + yª = zª dès que a est un entier strictement supérieur à 2. Cette hypothèse aura fait travailler des générations de mathématiciens avant qu’Andrew Wiles n’en découvre une preuve de près de mille pages en 1994!

Pour sa part, Sophie Germain a contribué à ce long cheminement. Dans le bestiaire des nombres, elle a d’abord défini une catégorie particulière de nombres premiers (nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes) nommés « nombres premiers de Germain ». Un nombre premier n sera un « nombre premier de Germain » si n est tel que 2n+1 est aussi un nombre premier. Par exemple 5 est un nombre premier de Germain car 2 x 5 + 1 = 11, 11 étant premier, mais pas 7 car 2 x 7 +1 = 15 et 15 n’est pas premier.

Sophie Germain démontra alors ceci :

Pour que trois entiers relatifs x, y, et z forment une solution de l’équation xª + yª = zª, alors l’un au moins des trois doit être divisible par le carré de a. Cette condition est vraie en particulier pour tout nombre premier de Germain, et Sophie Germain vérifia qu’elle l’est aussi pour tout nombre premier inférieur à 100.

Autrement dit :

Si a est un nombre premier de Germain alors il n’existe pas d’entiers non nuls x, y et z non multiples de a tels que xª + yª = zª.

Rencontre avec le mathématicien Gauss

Le professeur Lagrange fut impressionné par les travaux de « Antoine Auguste Leblanc » et le (la) mit en contact avec Carl Friedrich Gauss, le plus grand mathématicien de l’époque. Gauss fut également impressionné par les travaux d’« Antoine » sur le Théorème de Fermat. Se souvenant de la mort d’Archimède, Sophie Germain, dont le père devint directeur de la Banque de France, demanda aux généraux napoléoniens d’épargner Gauss lorsqu’ils envahiront l’Allemagne!

Gauss finit par apprendre qu’Antoine Leblanc était une femme qui, en plus, avait fait des démarches pour lui sauver la vie. Il l’en remercia :

Comment vous décrire mon admiration et mon étonnement de voir mon estimé correspondant Monsieur Le Blanc se transformer en ce fameux personnage qui me donne un brillant exemple de ce que j’aurai du mal à croire… Mais quand une personne du sexe qui du fait de nos coutumes et préjugés doit surmonter plus de difficultés que les hommes pour se familiariser avec ces épineuses questions, réussit néanmoins à dépasser ces obstacles … alors elle doit sans aucun doute posséder un noble courage, des talents extraordinaires et un esprit supérieur.
Gauss, le 30 avril 1807

Une difficile reconnaissance par les pairs masculins

En dehors de la théorie des nombres, Sophie Germain, qui s’affichait maintenant sous son propre nom, s’intéressa à un phénomène de vibration découvert en 1807 par le physicien Ernst Chladni : en saupoudrant de sable un disque de cuivre et en le frottant avec un archet, il obtenait d’étonnantes figures géométriques. Pour expliquer ce phénomène, l’Institut de France ouvrit un concours sur la formulation mathématique des surfaces élastiques. Sophie Germain tenta pendant plus de dix ans de résoudre ce problème.

Elle fut la seule à déposer un mémoire à ce sujet, qui fut deux fois refusé à cause d’erreurs. Lagrange, qui était membre du jury, évaluait que les outils mathématiques nécessaires, à savoir le calcul des variations, n’était pas assez développé. Par ailleurs, Sophie Germain s’opposait à un mathématicien réputé de l’époque, Poisson, qui privilégiait (à tort) une approche moléculaire du phénomène. Sophie réussit cependant à proposer une solution en 1816. Le jury lui accorda le prix, une médaille en or, pesant 1 kg selon certains. Mais Sophie ne se présenta pas pour la recevoir : elle estimait que le jury n’avait pas évalué son travail à sa juste valeur, notamment parce qu’elle était une femme. Elle a quand même été la première femme reçue par l’Institut, en dehors des épouses des savants masculins, bien entendu!

Elle poursuivit quand même ses recherches, mais le mémoire qu’elle déposa en 1825 fut tout simplement ignoré par le jury où figurait Poisson!

Les résultats de son travail ont pourtant permis de nombreuses réalisations, dont la tour Eiffel.

Fin de vie

Sophie Germain a aussi travaillé sur l’esprit des sciences et a publié Considérations générales Sur L’État des Sciences et des Lettres qui a beaucoup inspiré Auguste Comte, père du positivisme et précurseur de la sociologie.

Elle est décédée en 1831, à Paris, d’un cancer du sein, juste avant que, sur la proposition de Carl Friedrich Gauss, l’Université de Göttingen lui accorde un doctorat honorifique.

Sur son certificat de décès, elle est présentée comme « rentière » ce qui, à cette époque, était plus honorable pour une femme que d’être présentée comme « mathématicienne »…