Ce chapitre est consacré à la transformée de Laplace, un opérateur intégral largement utilisé pour simplifier la résolution d’équations différentielles en les transformant en équations algébriques dans un domaine différent.

4.1 Définitions :  cette section présente le concept et l’opérateur intégral de la transformée de Laplace.

4.2 Propriétés de la transformée de Laplace : cette section traite des grandes propriétés de la transformée de Laplace, essentielles pour une transformation et une manipulation efficaces des fonctions.

4.3 Transformée inverse de Laplace : cette section explique le processus de conversion des fonctions du domaine de Laplace vers le domaine d’origine, connu sous le nom de transformée inverse de Laplace.

4.4 Résolution de problèmes de valeur initiale : cette section démontre l’application de la transformée de la Place et de son inverse dans la résolution de problèmes de valeur initiale (PVI).

4.5 Transformée de Laplace de fonctions définies par morceaux : cette section explore l’application de la transformée de Laplace aux fonctions continues par morceaux, en utilisant des outils tels que la fonction de Heaviside (fonction échelon unité).

4.6 Résolution de problèmes de valeur initiale avec des fonctions de forçage définies par morceaux : cette section montre comment résoudre des PVI pour des équations différentielles du second ordre à coefficients constants et à fonctions de forçage continues par morceaux.

4.7 Fonction delta de Dirac (impulsion) : cette section présente la fonction delta de Dirac et son application à la résolution d’équations différentielles avec des fonctions de forçage impulsionnelles, qui sont caractérisées par des amplitudes élevées sur des intervalles très courts.

4.8 Table des transformées de Laplace : cette section présente un tableau résumant les transformées de Laplace et certaines de leurs propriétés pour une consultation rapide.

Pionniers du progrès

Oliver Heaviside, né en 1850 à Camden Town, à Londres, était un ingénieur en électricité, un mathématicien et un physicien autodidacte dont l’approche non conventionnelle du monde académique ne l’a pas empêché d’avoir un impact profond sur ce domaine. Largement autodidacte en raison de contraintes financières, Heaviside a poursuivi sa passion pour la théorie électromagnétique, apportant des contributions substantielles qui étaient à la fois novatrices et controversées en son temps. Sa réalisation la plus importante a été le développement du calcul opérationnel, un outil puissant dans l’application d’équations différentielles à des problèmes physiques, en particulier dans le domaine de l’ingénierie électrique. Les méthodes de Heaviside ont simplifié les équations complexes de l’électromagnétisme de Maxwell, les rendant plus accessibles et applicables dans la pratique, ce qui a eu un impact durable sur les télécommunications et sur l’ingénierie électrique. Malgré les critiques et la maigre reconnaissance dont il a fait l’objet de son vivant, le travail de Heaviside a été qualifié plus tard de révolutionnaire, influençant non seulement les fondements théoriques de l’ingénierie électrique, mais aussi les aspects pratiques de la transmission des signaux et de la conception des circuits. L’histoire d’Oliver Heaviside est une histoire de persévérance et d’intelligence, qui démontre qu’une quête incessante de connaissances peut conduire à des découvertes déterminantes pour le monde, hors de la voie académique conventionnelle.