Description du chapitre

Ce chapitre traite des équations différentielles linéaires du second ordre, une catégorie d’équations fondamentale dans l’étude des mathématiques, de la physique et de l’ingénierie. Il explore leur structure et les techniques pour les résoudre et examine la façon dont elles modélisent des systèmes du monde réel, tels que des systèmes mécaniques vibratoires et des circuits électriques.

3.1. Équations homogènes :  cette section étudie les équations différentielles linéaires homogènes du second ordre, pour lesquelles il n’y a pas de fonction de forçage externe. La solution générale consiste à trouver deux solutions linéairement indépendantes, qui constituent la base de toutes les solutions possibles.

3.2 Équations à coefficients constants : cette section s’intéresse aux équations homogènes à coefficients constants.

3.3. Équations non homogènes : cette section explore les équations non homogènes, qui modélisent des systèmes influencés par des forces ou intrants externes.

Le chapitre présente ensuite diverses méthodes de résolution d’équations à coefficients variables et de structures non homogènes.

3.4 Méthode des coefficients indéterminés : cette méthode est efficace pour les équations non homogènes à coefficients constants.

3.5 Méthode de variation des paramètres : technique polyvalente pour des cas plus généraux.

3.6 Méthode de réduction d’ordre : utile pour trouver une seconde solution lorsqu’une solution est déjà connue.

3.7 Équation de Cauchy-Euler : réservée aux équations à coefficients variables sous une forme particulière.

Le chapitre se conclut avec l’application de ces concepts à des scénarios physiques et techniques.

3.8 Systèmes mécaniques :  cette section examine le comportement de systèmes masse-ressort, notamment les vibrations libres, forcées, amorties et non amorties.

3.9 Circuits électriques : cette section aborde l’analyse de circuits RLC, comportant une résistance, un inducteur et un condensateur.

Pionniers du progrès

Elbert Frank Cox, né en 1895 à Evansville, dans l’Indiana, aux États-Unis, occupe une place monumentale dans l’histoire puisqu’il a été le premier Afro-Américain à obtenir un doctorat en mathématiques. Surmontant les barrières raciales omniprésentes à son époque, Cox a pu obtenir un doctorat à l’université de Cornell en 1925 grâce à son inébranlable détermination. Sa thèse révolutionnaire, « The Polynomial Solutions of the Difference Equation » (Les Solutions polynomiales de l’équation différentielle), a jeté les bases d’avancées significatives dans le domaine des équations différentielles. Le parcours académique de Cox est non seulement une réussite personnelle, mais également une source d’inspiration, symbolisant un potentiel extraordinaire d’accomplissement en dépit d’obstacles systémiques. Après avoir obtenu son doctorat, il a consacré sa vie à l’éducation, enseignant dans des établissements supérieurs et universités historiquement noirs et façonnant la prochaine génération de mathématiciens. L’héritage d’Elbert Frank Cox va au-delà de ses contributions mathématiques : il témoigne de la résilience et du brio intellectuel face aux défis de la société, ouvrant la voie aux futurs chercheurs et chercheuses d’horizons divers.