7.4 Équation des ondes

AMIR TAVANGAR

7.4 Équation des ondes

L’équation des ondes modélise la propagation des ondes, telles que les ondes sonores, les ondes lumineuses ou les ondes aquatiques, à travers un milieu. Elle rend compte de la façon dont ces ondes se déplacent et changent dans le temps et dans l’espace. L’équation des ondes pour le problème de valeur initiale aux limites portant sur le déplacement (déflexion) d’une corde qui vibre et dont les extrémités sont maintenues fixes est

$(del^2u) / (delt^2)(x,t) = alpha^2(del^2u) / (delx^2)(x,t) \ ,$ 0ltxltL, tgt0 (7.4.1)

$u(0,t) = u(L,t) = 0\ ,$

$u(x,0) = f(x)\ ,$ $(delu) / (delt)(x,0) = g(x)\ ,$

En utilisant la méthode de séparation des variables, on trouve la solution formelle de ce problème de valeur initiale aux limites :

u(x,t) = somme_(n = 1)^oo[A_n cos((npialphat) / L) + (B_nL) / (npialpha)sin((npialphat) / L )] sin((npix) / L) (7.4.2)

où

f(x) = somme_(n = 1)^ooA_n sin((npix) / L) et g(x) = somme_(n = 1)^ooB_n sin((npix) / L)

sont les séries sinusoïdales de Fourier de f(x) et g(x) sur [0,L] et

A_n = 2 / Lint_0^Lf(x)sin((npix) / L) dx et B_n = 2 / Lint_0^Lg(x)sin((npix) / L) dx

Exemple 7.4.1 : Trouver la solution du problème de conditions limites – Équation des ondes

Trouver la solution au problème de la corde qui vibre

$(del^2u) / (delt^2)(x,t) = 4(del^2u) / (delx^2)(x,t) \ ,$ 0ltxltpi , tgt0

$u(0,t) = u(pi,t) = 0\ ,$

u(x,0) = sin(3x)-1 / 2sin(5x) , $(delu) / (delt)(x,0) = sin(4x) + 2sin(6x)\ ,$

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En comparant l’équation à l’équation 7.4.1, on observe que alpha = 2 , L = pi , f(x) = sin(3x)-1 / 2sin(5x) et que g(x) = sin(4x) + 2sin(6x) . Comme et sont exprimés en termes de fonctions sinusoïdales, il est possible de déterminer les valeurs des coefficients A_n et B_n en transformant et en u(x,0) et u_t(x,0) , respectivement.

En remplaçant t = 0 dans l’équation 7.4.2, on obtient

u(x,0) = somme_(n = 1)^oo (A_n cos(0) + B_n / (2n)sin(0) )sin(nx) = somme_(n = 1)^oo A_nsin(nx)

À partir des valeurs initiales aux limites, on a

u(x,0) = sin(3x)-1 / 2sin(5x)

Par conséquent,

somme_(n = 1)^oo A_nsin(nx) = sin(3x)-1 / 2sin(5x)

En égalisant les coefficients des termes similaires, on constate que

A_3 = 1, et A_5 = -1 / 2

tandis que les coefficients restants sont nuls. De même, en différenciant partiellement l’équation de la section 7.4.2 par rapport à et en substituant t = 0 , on obtient

(delu) / (delt)(x,t) somme_(n = 1)^oo (-2nA_n sin(2nt) + B_ncos(2nt) )sin(nx)

(delu) / (delt)(x,0) somme_(n = 1)^oo (-2nA_n sin(0) + B_ncos(0) )sin(nx) = somme_(n = 1)^oo B_nsin(nx)

À partir des valeurs initiales aux limites, on a

(delu) / (delt)(x,0) = sin(4x) + 2sin(6x)

Par conséquent,

somme_(n = 1)^oo B_nsin(nx) = sin(4x) + 2sin(6x)

En égalisant les coefficients des termes similaires, on constate que

B_4 = 1, et B_6 = 2

tandis que les coefficients restants sont nuls.

La solution du problème est donc

u(x,t) = somme_(n = 1)^oo (A_n cos(2nt) + B_n / (2n)sin(2nt))sin(nx)

u(x,t) = cos(6t)sin(3x) + 1 / 8sin(8t)sin(4x) -1 / 2cos(10t)sin(5x) + 1 / 6sin(12t)sin(6x)

La figure représente u(x,t) sous forme schématique.

Prenons un exemple

Section 7.4 Exercices

Trouve la solution au problème de valeur initiale aux limites décrivant des ondes
   $0ltxltpi,\ tgt0$





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Trouve la solution au problème de valeur initiale aux limites décrivant des ondes
   $0ltxltpi,\ tgt0$





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