7.3 Équation de la chaleur

AMIR TAVANGAR

7.3 Équation de la chaleur

A. Introduction à la résolution d’équations différentielles partielles

Cette section aborde la méthode de séparation des variables pour résoudre des équations différentielles partielles couramment rencontrées en physique mathématique, telles que les équations de la chaleur et des ondes. Cette méthode simplifie les équations différentielles partielles complexes en équations différentielles ordinaires plus faciles à gérer. Bien que les algorithmes informatiques tels que les différences finies et les éléments finis soient fréquemment employés pour résoudre des équations différentielles partielles, leur précision peut être difficile à évaluer. C’est pourquoi la méthode analytique de séparation des variables est importante pour vérifier les résultats de ces méthodes de calcul.

B. Équation de la chaleur

L’équation de la chaleur décrit la diffusion de la chaleur dans un milieu au fil du temps. Elle est formulée en considérant un élément de petit volume à l’intérieur du matériau, où le taux de variation d’énergie thermique est égal au flux de chaleur net. En représentant la température au point et à l’instant par u(x,t) , l’équation de la chaleur en une dimension peut être exprimée sous la forme

$frac{partiel u}{partiel t} = beta^2 nabla^2 u$

où $frac{partiel u}{partiel t}$ représente le taux de variation de la température dans le temps, beta^2

(où

est la diffusivité thermique du matériau) est une constante qui combine la conductivité thermique, la densité et la capacité thermique spécifique du matériau et nabla^2 u

(le laplacien de

) représente la divergence du gradient de température, indiquant comment la température change dans l’espace autour de n’importe quel point. Dans une dimension, comme une simple tige, le laplacien de

est simplifié en nabla^2 u = (del^2u) / (delx^2)

. L’équation de la chaleur devient donc

(delu) / (delt)(x,t) = beta^2(del^2u) / (delx^2)(x,t)

Pour résoudre cette équation, il faut définir des conditions aux limites et des conditions initiales. La condition initiale spécifie la distribution de la température dans tout le domaine au moment initial, généralement t = 0 . Par exemple, pour une tige ou un domaine unidimensionnel similaire, la condition initiale peut être u(x,0) = f(x) , où f(x) décrit la distribution de la température le long de la tige au moment initial.

On considère d’abord les conditions aux limites de Dirichlet pour le flux de chaleur dans une tige uniforme dont les extrémités sont maintenues à une température constante de zéro.

C. Solution de l’équation de la chaleur avec des conditions aux limites de Dirichlet

Prenons une tige uniforme d’une longueur dont les deux extrémités sont maintenues à une température nulle constante. L’équation de la chaleur en une dimension est

$frac{partiel u}{partiel t} = beta^2 frac{partiel^2 u}{partiel x^2}$ (7.3.1)

Pour une température nulle aux deux extrémités de la tige, les conditions aux limites sont

u(0, t) = 0 quad text{and} quad u(L, t) = 0

La distribution initiale de la température le long de la tige est donnée par

u(x, 0) = f(x)

En utilisant la méthode de séparation des variables, on suppose que la solution peut être écrite comme le produit de deux fonctions, l’une dépendant uniquement de et l’autre uniquement de .

u(x, t) = X(x)T(t)

En substituant la forme de la solution dans l’équation de la chaleur, on obtient

T'(t)X(x) = beta^2X''(x)T(t)

En divisant l’équation par beta^2 X(x)T(t) , on trouve

$frac{beta^2} frac{T'(t)}{T(t)} = frac{X''(x)}{X(x)}$

Cette équation est scindée en deux équations différentielles ordinaires (EDO) parce que le côté gauche dépend uniquement de et le côté droit uniquement de . Pour que cette équation soit valable pour toutes les valeurs de et , chacun des côtés de l’équation doit être indépendamment égal à une constante. En effet, la seule façon pour qu’une fonction de soit égale à une fonction de en toutes circonstances est que les deux soient égales à la même valeur constante. Par conséquent, on définit pour les deux côtés de l’équation une constante négative, notée -lambda , lambda devenant ainsi la constante de séparation. Par convention, le signe négatif est ajouté pour simplifier les étapes suivantes.

$frac{beta^2} frac{T'(t)}{T(t)} = frac{X''(x)}{X(x)} = -lambda$

On obtient donc deux EDO distinctes.

$frac{X''(x)}{X(x)} = -lambda$

$frac{beta^2} frac{T'(t)}{T(t)} = -lambda$

Résolution de l’EDO spatiale

Pour résoudre la partie spatiale de l’équation différentielle ordinaire (EDO), il faut d’abord réarranger l’équation

X''(x) + lambda X(x) = 0

u(0, t) = 0 quad text{and} quad u(L, t) = 0

X(x) = 0 est la solution triviale à ce problème de conditions aux limites. Toutefois, nous nous intéressons ici aux solutions non triviales, car elles fournissent des indications utiles sur le comportement du système dans diverses conditions. Une valeur de lambda pour laquelle ce problème a une solution non triviale est appelée valeur propre du problème et les solutions son triviales sont les fonctions propres associées à ce lambda . Ces fonctions propres, contrairement à la solution triviale, permettent de mieux comprendre la dynamique et les caractéristiques du système.

Trouver les valeurs propres et les fonctions propres

L’équation caractéristique de l’équation différentielle spatiale est c(lambda) = r^2 + lambda

. En fonction du signe de lambda

, il y a trois cas à considérer.

Cas n° 1 :

Dans ce cas, les racines de c(lambda) sont complexes et la solution est

X(x) = c_1cos(sqrt(lambda)x) + c_2sin(sqrt(lambda)x)

En appliquant les premières conditions aux limites X(0) = 0 , on trouve c_1 = 0 . En appliquant les deuxièmes conditions aux limites X(L) = 0 , on obtient l’équation c_2sin(Lsqrt(lambda)) = 0 . Pour obtenir une solution non triviale, la fonction sinusoïdale doit elle-même être nulle.

sin(Lsqrt(lambda)) = 0 Lsqrt(lambda) = npi for n = 1, 2, 3, ldots

Par conséquent, les valeurs propres positives et leurs fonctions propres associées de ce problème aux limites sont

$lambda_n = gauche( frac{npi}{L} droite)^2 quad text{and} quad X_n(x) = singauche( frac{npi x}{L} droite)$ pour n = 1, 2, 3, ldots

Cas n° 2 :

En ce cas, la solution générale de l’équation différentielle est

X(x) = c_1 + c_2x

En appliquant les premières conditions aux limites X(0) = 0 , on trouve c_1 = 0 . En appliquant les deuxièmes conditions aux limites X(L = 0 , on obtient c_2 = 0 . Dans ce cas, la seule solution est la solution triviale, qui est rejetée.

Cas n° 3 :

Dans ce cas, les racines de c(lambda) sont un nombre réel, ce qui donne la solution

X(x) = c_1e^(-sqrt(lambda)x) + c_2e^(sqrt(lambda)x)

En appliquant les premières conditions aux limites X(0) = 0 , on trouve c_1 + c_2 = 0 . Les deuxièmes conditions aux limites X(L) = 0 donnent c_1e^(-Lsqrt(lambda)) + c_2e^(Lsqrt(lambda)) = 0 . En résolvant le système pour c_1 et c_2 , on obtient

c_2(e^(Lsqrt(lambda)) -e^(-Lsqrt(lambda)) ) = 0

Comme on cherche une solution non triviale, le terme entre parenthèses doit être nul.

e^(Lsqrt(lambda)) -e^(-Lsqrt(lambda)) = 0

Cependant, cette équation n’est valable que si lambda = 0 , ce qui contredit notre hypothèse lambda<0 . On conclut donc que c_2 doit être égal à zéro, ce qui donne une solution triviale.

Par conséquent, les seules valeurs et fonctions propres valables pour la partie spatiale de l’équation sont réalisées lorsque . Elles sont données par

$lambda_n = gauche( frac{npi}{L} droite)^2 quad text{and} quad X_n(x) = singauche( frac{npi x}{L} droite)$ pour n = 1, 2, 3, ldots

Résolution de l’EDO temporelle

Pour résoudre la partie temporelle de l’équation différentielle ordinaire (EDO), il faut d’abord réarranger l’équation

$frac{beta^2} frac{T'(t)}{T(t)} = -lambda$

et substituer les valeurs propres précédemment déterminées $lambda_n = gauche (frac{npi}{L} droite)^2$ , ce qui transforme l’EDO temporelle en

$T'(t) + beta^2 gauche( frac{npi}{L} droite)^2 T(t) = 0$

Pour chaque valeur propre lambda_n , la solution à cette équation différentielle est

$T_n(t) = ce^{-beta^2 gauche( frac{npi}{L} droite)^2 t}$ pour n = 1, 2, 3, ldots

où représente une constante arbitraire. La série de fonctions T_n(t) décrit l’évolution de la température dans le temps pour chaque mode spatial .

Construction de la solution générale

Pour construire la solution générale de l’équation de la chaleur, on combine la solution spatiale et la solution temporelle en une série composite.

u(x, t) = X(x)T(t)

Étant donné les solutions $X_n(x) = singauche( frac{npi x}{L} droite)$ et $T_n(t) = ce^{-beta^2 gauche( frac{npi}{L} droite)^2 t}$ , la forme combinée pour chaque mode est

$u(x, t) = B_n singauche( frac{npi x}{L} droite) e^{-beta^2 gauche( frac{npi}{L} droite)^2 t}$ pour n = 1, 2, 3, ldots

Notée en série, elle devient

$u(x, t) = somme_{n = 1}^{infty} B_n singauche( frac{npi x}{L} droite) e^{-beta^2 gauche( frac{npi}{L} droite)^2 t}$ (7.3.2)

où la constante de la solution temporelle est représentée par B_n pour chaque , car cette constante peut varier avec chaque terme de la série. Pour trouver le coefficient B_n , on applique la condition initiale u(x, 0) = f(x) . Ce qui donne

u(x,0) = f(x) = somme_(n = 1)^ooB_n sin((npix) / L)

Il s’agit de la représentation en série sinusoïdale de Fourier de f(x) sur l’intervalle [0,L] . Les coefficients B_n sont déterminés par

B_n = 2 / Lint_0^Lf(x)sin((npix) / L) dx (7.3.3)

Exemple 7.3.1 : Résoudre un problème de valeur initiale aux limites pour l’équation de la chaleur – Conditions aux limites de Dirichlet

Trouver la solution au problème de valeur initiale aux limites décrivant un flux thermique

$(delu) / (delt)(x,t) = 5(del^2u) / (delx^2)(x,t) \ ,$ 0ltxltpi, tgt0

$u(0,t) = u(pi,t) = 0\ ,$

u(x,0) = 6sin(x) + 7sin(5x)

Afficher/Masquer la solution

En comparant l’équation différentielle partielle à l’équation de la section 7.3.1, on observe que beta^2 = 5 et L = pi . Étant donné que la condition initiale est une combinaison linéaire de quelques fonctions sinusoïdales (fonctions propres), il suffit simplement de trouver la combinaison de termes dans la solution générale de la section 7.3.2 satisfaisant la condition initiale u(x,0) .

u(x,0) = 6sin(x) + 7sin(5x)

$somme_{n = 1}^{infty} B_n singauche( frac{npi x}{pi} droite) e^0 =$ 6sin(x) + 7sin(5x)

$somme_{n = 1}^{infty} B_n sin(n x ) =$ 6sin(x) + 7sin(5x)

D’après l’argument des fonctions sinus, les deux termes correspondent respectivement à n = 1 et n = 5 . De même, B_1 = 6 et B_5 = 7 . Tous les autres coefficients sont nuls.

La solution du problème de flux thermique est donc

u(x,t) = somme_(n = 1)^oo B_n e^(-beta^2(npi / / L)^2t)sin((npix) / L)

u(x,t) = B_1e^(-5((1)pi / / pi)^2t)sin(((1)pix) / pi) + B_5e^(-5((5)pi / / pi)^2t)sin(((5)pix) / pi)

u(x,t) = 6e^(-5t)sin(x) + 7e^(-125 t)sin(5x)

Prenons un exemple

Exemple 7.3.2 : Résoudre un problème de valeur initiale aux limites pour l’équation de la chaleur – Conditions aux limites de Dirichlet

Trouver la solution au problème de valeur initiale aux limites décrivant un flux thermique

$(delu) / (delt)(x,t) = 9(del^2u) / (delx^2)(x,t) \ ,$ 0ltxlt4, tgt0

$u(0,t) = u(4,t) = 0\ ,$

u(x,0) = x

Afficher/Masquer la solution

En comparant l’équation à l’équation 7.3.1, on observe que beta = 3 , L = 4 et f(x) = x . Contrairement à l’exemple précédent, la fonction de condition initiale n’est pas similaire aux fonctions propres (fonctions sinusoïdales). Par conséquent, il faut d’abord trouver B_n avec l’équation 7.3.3.

B_n = 2 / Lint_0^Lf(x)sin((npix) / L)dx

B_n = 2 / 4int_0^4xsin((npix) / 4)dx

Avec l’intégration par parties, on a

B_n = [-2 / (npi)xcos((npix) / 4)]_0^4 + 2 / (npi)int_0^4cos((npix) / 4)dx

= -8 / (npi)cos(npi) + 8 / (n^2pi^2) sin(npi)

= (-1)^(n + 1)8 / (npi)

La solution est donc

u(x,t) = somme_(n = 1)^oo B_n e^(-beta^2(npi / / L)^2t)sin((npix) / L)

u(x,t) = 8 / (pi)somme_(n = 1)^oo (-1)^(n + 1) / n e^(-9(npi / / 4)^2t)sin((npix) / 4)

La figure ci-dessous montre la somme partielle de la solution u(x,t) .

Prenons un exemple

D. Solution de l’équation de la chaleur avec des conditions aux limites de Neumann

Les conditions aux limites de Neumann spécifient la valeur de la dérivée (gradient) de la température à la limite, représentant souvent des surfaces isolées ou adiabatiques où il n’y a pas de flux de chaleur. Par exemple, (delu) / (delx)(0,t) = 0 peut représenter une extrémité de la tige parfaitement isolée.

Pour développer une solution pour l’équation de la chaleur avec des conditions aux limites de Neumann, on utilise la méthode de séparation des variables.

Prenons une tige uniforme de longueur dont les deux extrémités sont parfaitement isolées (aucun flux de chaleur n’entre dans la tige ou n’en sort) et dont la température aux deux extrémités est maintenue constante. L’équation de la chaleur en une dimension est

$frac{partiel u}{partiel t} = beta^2 frac{partiel^2 u}{partiel x^2}$

Pour les extrémités isolées, la dérivée (gradient) de la température à la limite est zéro. Les conditions aux limites de Neumann sont donc

$u_x(0, t) = 0 quad text{and} quad u_x(L, t) = 0$

La distribution initiale de la température le long de la tige est donnée par

u(x, 0) = f(x)

La solution de ce problème aux limites est

$u(x, t) = A_0 + somme_{n = 1}^{infty} A_n cos( frac{npi x}{L} ) e^{-beta^2 ( frac{npi}{L} )^2 t}$ (7.3.4)

où

$f(x) = A_0 + somme_{n = 1}^{infty} A_n cos( frac{npi x}{L} )$

est la série cosinusoïdale de Fourier de f(x) sur [0,L] et les coefficients A_0 et A_n sont donnés par

$A_0 = frac{L} int_{0}^{L} f(x) dx$ (7.3.5)

$A_n = frac{L} int_{0}^{L} f(x) cos(frac{npi x}{L}) dx$ pour n = 1, 2, 3, ldots (7.3.6)

Exemple 7.3.3 : Résoudre un problème de valeur initiale aux limites pour l’équation de la chaleur – Conditions aux limites de Neumann

Trouver la solution au problème de valeur initiale aux limites décrivant un flux thermique

$(delu) / (delt)(x,t) = 4(del^2u) / (delx^2)(x,t) \ ,$ 0ltxlt2, tgt0

$u_x(0,t) = u_x(2,t) = 0\ ,$

u(x,0) = 5x^2,

Afficher/Masquer la solution

En comparant l’équation à l’équation 7.3.1, on observe que beta = 2 , L = 2 et f(x) = 5x^2 . Il faut d’abord trouver les coefficients A_0 et A_n . On utilise l’équation de la section 7.3.5.

$A_0 = frac{L} int_{0}^{L} f(x) dx$

$A_0 = frac int_{0}^ 5x^2 dx = 5 / 2[x^3 / 3]_0^2 = 20 / 3$

On applique l’équation de la section 7.3.6 pour trouver A_n .

$A_n = frac{L} int_{0}^{L} f(x) cos(frac{npi x}{L}) dx$

$A_n = int_{0}^ 5x^2 cos(frac{npi x}) dx$

Avec l’intégration par parties, on a

= [(10x^2) / (npi)sin((npix) / 2)]_0^2-20 / (npi) int_0^2 xsin((npix) / 2 ) dx

= [(10x^2) / (npi)sin((npix) / 2)-80 / (npi)^3((-npi) / 2xcos((npix) / 2) + sin((npix) / 2))]_0^2

= 80 / (n^2pi^2)cos(npi)

Étant donné que cos(npi) = (-1)^n , A_n est simplifié en

A_n = (80(-1)^(n)) / (n^2pi^2)

La solution générale est donc donnée par l’équation de la section 7.3.4

$u(x, t) = A_0 + somme_{n = 1}^{infty} A_n cos( frac{npi x}{L} ) e^{-beta^2 ( frac{npi}{L} )^2 t}$

$= 20 / 3 + somme_{n = 1}^{infty} (80(-1)^(n)) / (n^2pi^2) cos( frac{npi x} ) e^{-4 ( frac{npi} )^2 t}$

La figure ci-dessous montre la somme partielle de la solution u(x,t) .

Prenons un exemple

Section 7.3 Exercices

Trouver la solution au problème de valeur initiale aux limites décrivant un flux thermique
$0ltxlt3, \ tgt0$

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Trouver la solution au problème de valeur initiale aux limites décrivant un flux thermique
$(delu) / (delt)(x,t) = 2(del^2u) / (delx^2)(x,t) \ ,$ $0ltxltpi, \ tgt0$

$u(0,t) = u(pi,t) = 0\ ,$

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Trouver la solution au problème de valeur initiale aux limites décrivant un flux thermique
$0ltxlt3, \ tgt0$

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