7.2 Série de Fourier

Pour résoudre des équations différentielles partielles, on emploie souvent une méthode qui transforme les équations différentielles partielles complexes en équations différentielles ordinaires plus simples. Une étape clé de cette méthode consiste à exprimer les fonctions sous forme de séries de Fourier trigonométriques. Cette section donne donc un bref aperçu des séries de Fourier, ce qui nous permettra d’aborder efficacement la résolution des équations différentielles partielles dans les sections suivantes.

A. Série de Fourier

Une série de Fourier est une expansion d’une fonction en termes d’une somme infinie de sinus et de cosinus. La série permet d’exprimer une forme d’onde périodique complexe comme une combinaison de fonctions oscillantes simples.

Décomposition en sinus et cosinus

La formule pour une série de Fourier d’une fonction définie dans l’intervalle est

où ,  et sont les coefficients de Fourier qui déterminent la grandeur des termes correspondants en sinus et en cosinus. Ils sont calculés comme suit :

  pour

  pour

B. Série de Fourier de sinus et de cosinus

Dans certains cas, la fonction peut avoir des symétries spécifiques, qui simplifient la série de Fourier :

Série de sinus : si est une fonction impaire (à savoir ), les termes en cosinus de la série de Fourier disparaissent et seules les termes en sinus subsistent. Il s’ensuit une série de sinus, qui est particulièrement utile pour les fonctions définies sur des intervalles symétriques et satisfaisant certaines conditions aux limites, comme la nullité aux extrémités.

Série de cosinus : si est une fonction paire (à savoir ), les termes en sinus disparaissent, ne laissant que les termes en cosinus. La série de cosinus obtenue est utile pour les problèmes dans lesquels la dérivée de  est nulle aux extrémités.

Les séries de Fourier font partie intégrante de la résolution des EDP, en particulier lorsque l’on utilise la méthode de séparation des variables. Cette méthode exige souvent que les conditions aux limites soient satisfaites, ce qui est possible avec la série de Fourier. En exprimant une fonction sous la forme d’une série de Fourier, les EDP peuvent être transformées en EDO plus simples, chacune associée à une composante de fréquence différente de la fonction d’origine.

Trouver la série de Fourier Series de  sur .

Afficher/Masquer la solution

 

L’extrémité est 2. La série de Fourier est donc

 

où

 

 

  

étant une fonction impaire,  et sont nuls. De même, et le sinus étant tous deux des fonctions impaires, leur produit est une fonction paire. Ainsi, l’intégrale sur un intervalle symétrique de peut être simplifiée en

 

On évalue à l’aide de la technique de l’intégration par parties.

 

Étant donné , est simplifié en

 

La série de Fourier est donc

 

La figure ci-dessous représente graphiquement (ligne noire pleine) et son approximation par les sommes partielles de sa série de Fourier sur  pour (courbe en pointillés bleus) et  (courbe en pointillés rouges).

La figure interactive ci-dessous présente une comparaison visuelle entre l’approximation de la série de Fourier d’une fonction mathématique et la fonction linéaire , tracée sur l’intervalle . L’approximation de la série de Fourier, représentée par une ligne en pointillés bleus, illustre la manière dont une fonction peut être représentée comme une somme de fonctions sinusoïdales plus simples. Le nombre de termes inclus dans l’approximation de la série de Fourier peut être ajusté dynamiquement à l’aide d’un curseur interactif, allant de 1 à 10 termes. Cette caractéristique permet d’observer l’impact de l’augmentation du nombre de termes de la série sur la précision de l’approximation de la fonction réelle. La fonction linéaire est représentée par une ligne pleine rouge pour référence.