6.9 Systèmes linéaires non homogènes

Dans cette section, nous traitons du système linéaire non homogène

 bb(y)'=Abb(y)+bb(f)(t)(6.9.1)

où la matrice A est une fonction matricielle nxxn et bb(f) est une fonction de forçage à n vecteurs. Le système homogène associé bb(y)'=Abb(y) est appelé système complémentaire.

Les méthodes abordées au chapitre 3, à savoir les coefficients indéterminés et la variation des paramètres, utilisées pour trouver des solutions particulières à des équations linéaires non homogènes peuvent être appliquées à des systèmes linéaires non homogènes. Nous nous intéressons ici à la méthode de variation des paramètres.

Variation des paramètres

La méthode de variation des paramètres expliquée à la section 3.5 pour des équations linéaires, s’applique également à des systèmes linéaires. Elle exige un ensemble fondamental de solutions à l’équation complémentaire (homogène).

Théorème. Supposons qu’une matrice nxxn A et un vecteur n bb"f" sont continus sur un intervalle ouvert I. Disons que bb(y)_p est une solution particulière du système 6.9.1 sur I et que {bb(y)_1, bb(y)_2, ..., bb(y)_n} est un ensemble fondamental de solutions du système complémentaire bb(y)'=A(t)bb(y). Alors, la solution générale de l’équation de la section 6.9.1 sur I est

  bb(y)(t)=bb(y)_p+bb(y)_c 

où où bb(y)_c=c_1bb(y)_1+c_2bb(y)_2+...+c_nbb(y)_n est la solution complémentaire et c_i est une constante arbitraire. La solution générale peut donc être exprimée sous la forme

  bb(y)(t)=bb(y)_p+c_1bb(y)_1+c_2bb(y)_2+...+c_nbb(y)_n 

 

Méthode de variation des paramètres pour des systèmes linéaires non homogènes

Trouver une solution particulière à bb(y)'=Abb(y)+bb(f)(t)

1. Trouver un ensemble fondamental de solutions {bb(y)_1, bb(y)_2, ..., bb(y)_n} au système complémentaire correspondant bb(y)'=Abb(y).

2. Former la matrice fondamentale Y(t) pour le système complémentaire.

  Y(t)= [bb(y)_1 \ bb(y)_2 \ ... \ bb(y)_n]

3. Trouver l’inverse de la matrice fondamentale, Y^-1(t).

4. Déterminer bb(v)(t)=int\ Y^-1(t)bb(f)(t) dt

5. Une solution particulière du système est donnée par

 bb(y)_p(t)=Y(t)*bb(v)(t)

 bb(y)_p(t)=Y(t)int \ Y^-1(t)bb(f)(t) dt

6. Une solution générale du système est donnée par

 bb(y)(t)=bb(y)_p+c_1bb(y)_1+c_2bb(y)_2+...+c_nbb(y)_n

 

Exemple 6.9.1 : Trouver la solution générale d’un système non homogène

Trouver la solution générale du système

 bb"y"'=[(-4,-3),(6,5)]bb"y"+[(2),(-2e^t)]

Afficher/Masquer la solution

 

1. Il faut d’abord trouver une solution fondamentale au système complémentaire associé (homogène).

Le polynôme caractéristique de la matrice coefficient A est donné par

 c_A(lambda) =|(lambda+4,3),(-6,lambda-5) |

 =(lambda+4)(lambda-5)+18

 =lambda^2-lambda-2

=(lambda-2)(lambda+1)

Les racines de c_A(lambda), à savoir lambda_1=2 et lambda_2=-1, sont les valeurs propres de A. On trouve ensuite les vecteurs propres correspondants.

Pour lambda_1=2, on a

 (lambda_1 I-A)bb"u"=bb"0"

 [(6,3),(-6,-3) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_1=2 sont bb"u"_1=t[(-1),(2)] pour t!=0.

Pour lambda_2=-1, on a

 (lambda_2 I-A)bb"u"=bb"0"

 [(3,3),(-6,-6) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Les vecteurs propres correspondant à lambda_2=-1 sont bb"u"_2=t[(-1),(1)] pour t!=0.

Par conséquent, {e^(2t) [(-1),(2)], \ e^(-t) [(-1),(1)] } est un ensemble fondamental de solutions au système complémentaire.

2. Ainsi, la matrice fondamentale Y(t) pour le système complémentaire est

 Y(t)=[(-e^(2t),-e^-t),(2e^(2t),e^-t)]

3. On détermine Y^-1(t)

 Y^-1(t)=1/(-e^(2t)e^-t+2e^(2t)e^-t)[(e^(-t),e^-t),(-2e^(2t),-e^(2t))]

 =[(e^(-2t),e^(-2t)),(-2e^(t),-e^(t))]

4. On détermine bb"v"(t) en définissant une constante d’intégration nulle

 bb"v"(t)=int\ Y^-1(t)bb"f"(t) dt

 =int \ [(e^(-2t),e^(-2t)),(-2e^(t),-e^(t))][(2),(-2e^t)] dt

 =int \ [(2e^(-2t)-2e^-t),(-4e^t+2e^(2t))] dt

 =[(-e^(-2t)+2e^-t),(-4e^t+e^(2t))]

 

5. Une solution particulière du système est donc donnée par

 bb"y"_p(t)=Y(t).bb"v"(t)

 =[(-e^(2t),-e^-t),(2e^(2t),e^-t)][(-e^(-2t)+2e^-t),(-4e^t+e^(2t))]

 =[(5-3e^t),(-6+5e^t)]

 

6. Une solution générale du système est donc donnée par

 bb"y"=bb"y"_p+c_1bb"y"_1+c_2bb"y"_2

 =[(5-3e^t),(-6+5e^t)] +c_1e^(2t) [(-1),(2)] +c_2e^(-t) [(-1),(1)]

Ce qui peut s’écrire

 bb"y"=[(5-3e^t),(-6+5e^t)] +[(-e^(2t),-e^-t),(2e^(2t),e^-t)] [(c_1),(c_2)]

 

Prenons un exemple

 

 

Exemple 6.9.2 : Trouver la solution générale d’un système non homogène

Trouver la solution générale du système

 bb(y)'=[(3,14,-13),(0,11,-7),(0,14,-10)]bb(y)+[(2e^t),(0),(-e^(2t))]

Afficher/Masquer la solution

 

Le système complémentaire est

 bb(y)'=[(3,14,-13),(0,11,-7),(0,14,-10)]bb(y)

Le vecteur de forçage est

 bb(f)(t)=[(2e^t),(0),(-e^(2t))]

1. Dans l’exemple 6.6.3 de la section 6.6, on a trouvé un ensemble fondamental de solutions du système complémentaire associé au système donné dans cet exemple.

 {e^(3t) [(1),(0),(0)], \ e^(4t) [(1),(1),(1)] ,\ e^(-3t)[(2),(1),(2)] }

2. La matrice fondamentale Y(t) pour le système complémentaire est

 Y"(t)=[(e^(3t),e^(4t),2e^(-3t)),(0,e^(4t),e^(-3t) ),(0,e^(4t),2e^(-3t) ) ]

3. On détermine Y^-1(t) au moyen de la méthode de réduction en lignes, ce qui suppose d’augmenter la matrice Y(t) avec la matrice identité.

 [Y|I]~[I|Y^-1]

 Y^-1=[(e^(-3t),0,-e^(-3t)),(0,2e^(-4t),-e^(-4t) ),(0,-e^(3t),e^(3t) ) ]

4. On détermine bb(v)(t) en définissant une constante d’intégration nulle.

 bb"v"(t)=int\ Y^-1(t)bb"f"(t) dt

 =int \ [(e^(-3t),0,-e^(-3t)),(0,2e^(-4t),-e^(-4t) ),(0,-e^(3t),e^(3t) ) ] [(2e^t),(0),(-e^(2t))] dt

 =int \ [(2e^(-2t)+e^(-t)),(e^(-2t)),(-e^(5t))] dt

 =[(-e^(-2t)-e^(-t)),(-1/2e^(-2t)),(-1/5e^(5t))]

5. Une solution particulière du système est donc donnée par

 bb(y)_p(t)=Y(t)*bb(v)(t)

 =[(e^(3t),e^(4t),2e^(-3t)),(0,e^(4t),e^(-3t) ),(0,e^(4t),2e^(-3t) ) ] [(-e^(-2t)-e^(-t)),(-1/2e^(-2t)),(-1/5e^(5t))]

 =1/10[(-10e^(t)-19e^(2t)),(-7e^(2t)),(-9e^(2t))]

 

6. Une solution générale du système est donc donnée par

 bb(y)(t)=bb(y)_p+c_1bb(y)_1+c_2bb(y)_2+...+c_nbb(y)_n

 bb(y)(t)=1/10[(-10e^(t)-19e^(2t)),(-7e^(2t)),(-9e^(2t))] + c_1e^(3t) [(1),(0),(0)]+c_2 e^(4t) [(1),(1),(1)]+c_3e^(-3t)[(2),(1),(2)]

Ce qui peut également être exprimé par

 bb"y"=1/10[(-10e^(t)-19e^(2t)),(-7e^(2t)),(-9e^(2t))] +[(e^(3t),e^(4t),2e^(-3t)),(0,e^(4t),e^(-3t) ),(0,e^(4t),2e^(-3t) ) ] [(c_1),(c_2),(c_3)]

Section 6.9 Exercices

  1. Trouve la solution générale du système d’équations différentielles

     bb"y'"=[(-25,36),(-18,26)] bb"y" +[(-2),(5 e^t)]

    Afficher/Masquer la réponse

    bb(y)(t)=[(-26-90 e^t),(-18-65 e^t)]+[(3e^-t,4e^(2t)),(2e^-t,3e^(2t))][(c_1),(c_2)]

  2. Trouve la solution générale du système d’équations différentielles

     bb"y'"=[(5,3),(-6,-4)] bb"y" +[(2),(5 e^t)]

    Afficher/Masquer la réponse

    bb(y)(t)=[(-4-7.5 e^t),(6+10 e^t)]+[(-e^-t,-e^(2t)),(2e^-t,e^(2t))][(c_1),(c_2)]

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Équations différentielles© par AMIR TAVANGAR. Tous droits réservés.

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