6.8 Systèmes homogènes à coefficients constants : valeurs propres répétées

AMIR TAVANGAR

6.8 Systèmes homogènes à coefficients constants : valeurs propres répétées

Dans cette section, nous explorons les solutions d’un système homogène à coefficients constants lorsque les valeurs propres de la matrice coefficient sont répétées. En particulier, nous rencontrons un défi unique lorsque la multiplicité algébrique d’une valeur propre (le nombre de fois où elle apparaît comme racine du polynôme caractéristique) dépasse sa multiplicité géométrique (le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants qui lui sont associés). Cette différence nécessite une approche spécifique pour trouver toutes les solutions linéairement indépendantes nécessaires à une solution complète du système. Nous nous concentrons ici sur le cas où une valeur propre a une multiplicité algébrique de 2, mais une multiplicité géométrique de 1 seulement. Dans de telles situations, le concept de vecteurs propres généralisés devient crucial pour développer une solution complète.

Prenons un système homogène formulé comme suit :

bb{y}' = Abb{y} (6.8.1)

où la matrice a une valeur propre lambda qui est répétée deux fois (elle a donc une multiplicité algébrique de 2).

Théorème. Si une matrice n xx n a une valeur propre lambda avec une multiplicité de 2, mais seulement un vecteur propre linéairement indépendant qui lui est associé (soit une multiplicité géométrique de 1), le système aura des solutions supplémentaires dérivées de vecteurs propres généralisés.

Trouver des vecteurs propres généralisés

Pour une valeur propre lambda n’ayant qu’un vecteur propre standard indépendant mathbf{u} , il faut trouver un vecteur propre généralisé mathbf{v} en résolvant l’équation

(A - lambda I)mathbf{v} = mathbf{u}.

Ce vecteur propre généralisé mathbf{v} n’est pas une solution de (A - lambda I)mathbf{u} = mathbf{0} , mais satisfait l’équation ci-dessus.

Construire la solution

La solution pour la valeur propre lambda comporte des termes impliquant à la fois des vecteurs propres standard et des vecteurs propres généralisés. Les deux solutions sont linéairement indépendantes.

1. $bb{y}_1= e^{lambda t}bb{u}$ – associée au vecteur propre standard.

2. $bb{y}_2= e^{lambda t}tbb{u} +e^{lambda t}bb{v}$ – associée au vecteur propre généralisé.

Solution générale du système

La solution générale du système présenté à la section 6.8.1 combine ces solutions.

$bb{y}(t)=c_1e^{lambda t}bb{u} + c_2e^{lambda t} (tbb{u} +bb{v} )$ (6.8.2)

où c_1 et c_2 sont des constantes arbitraires.

Exemple 6.8.1 : Résoudre un problème de valeur initiale avec un système de deux équations à deux inconnues

Résoudre le système d’équations différentielles avec les valeurs initiales données.

bb"y'"=[(3,-1),(1,5)]bb"y", bb"y"(0)=[(-3),(2)]

Afficher/Masquer la solution

1. Il faut d’abord trouver les valeurs propres de la matrice coefficient .

Le polynôme caractéristique de est donné par

c_A(lambda)=det(A-lambda I)

=|(3-lambda,-1),(1,5-lambda) |

=(3-lambda)(5-lambda)+1

=lambda^2-8lambda+16

=(lambda-4)^2

Le polynôme caractéristique c_A(lambda) a une racine répétée. Ainsi, lambda_(1,2)=4 est la valeur propre de avec une multiplicité de 2.

2. Pour trouver les vecteurs propres standard correspondants, il faut trouver la solution de l’équation (A-lambda I)bb"u"=bb"0" .

Pour lambda_(1,2)=4 , on a

(A-lambda_(1,2) I)bb"u"=bb"0"

=[(3-4,-1),(1,5-4)] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

[(-1,-1),(1,1) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(-1,-1,|,0),(1,1,|,0) ]~ [(1,1,|,0),(0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_(1,2)=4 sont bb"u"_1=t[(-1),(1)] . En prenant t=1 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_1 =[(-1),(1)] .

3. Il faut trouver un vecteur propre généralisé de façon à ce que

$(A - lambda_(1,2) I)bb{v} =bb{u}_1$

[(-1,-1),(1,1) ] [(v_1),(v_2)]=[(-1),(1)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(-1,-1,|,-1),(1,1,|,1) ]~ [(1,1,|,1),(0,0,|,0) ]

La solution est bb"v"=[(1-t),(t)] . En prenant t=1 , un vecteur propre généralisé est bb"v" =[(0),(1)] .

4. Une solution générale du système est donnée par l’équation présentée à la section 6.8.2.

$bb{y}(t)=c_1e^{4 t}[(-1),(1)]+ c_2e^(4t)(t[(-1),(1)] +[(0),(1)])$

5. On applique les conditions initiales pour trouver les constantes c_1 et c_2 .

bb"y"(0)=[(-3),(2)]

c_1[(-1),(1)]+ c_2[(0),(1)]= [(-3),(2)]

On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues.

${(-c_1=-3),(c_1+c_2=2 ):}$

En résolvant le système, on obtient

c_1=3, c_2=-1

La solution du problème de valeur initiale est donc

$bb{y}(t)=3e^{4 t}[(-1),(1)]-e^(4t)(t[(-1),(1)] +[(0),(1)])$

Prenons un exemple

Exemple 6.8.2 : Résoudre un problème de valeur initiale avec un système de trois équations à trois inconnues

Résoudre le système d’équations différentielles avec les valeurs initiales données.

${(y_1' = 3 y_1 +y_2),(y_2' = 3 y_2 ),(y_3' = 5y_1- y_2 -2y_3) :},$ $y_1(0) = -2, \ y_2(0) = 5, \ y_3(0)=-5$

Afficher/Masquer la solution

1. On exprime d’abord le PVI dans la notation matricielle.

bb"y"'=Abb(y), bb(y)(0)=[(-2),(5),(-5)]

où A=[(3,1,0),(0,3,0),(5,-1,-2) ] .

2. On trouve les valeurs propres de la matrice coefficient .

Le polynôme caractéristique de est donné par

c_A(lambda)=det(A-lambda I)

=|(3-lambda,1,0),(0,3-lambda,0),(5,-1,-2-lambda) |

=(-2-lambda)|(3-lambda,1),(0,3-lambda)|

=(-2-lambda)(3-lambda)^2

Les valeurs propres sont lambda_1=-2 avec une multiplicité de 1 et lambda_(2,3)=3 avec une multiplicité de 2.

3. Pour trouver les vecteurs propres standard correspondants, on résout (A-lambda I)bb"u"=bb"0" .

Pour lambda_1=-2 , on a

(A-lambda_(1) I)bb"u"=bb"0"

=[(5,1,0),(0,5,0),(5,-1,0) ] [(u_1),(u_2),(u_3)]=[(0),(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(5,1,0),(0,5,0),(5,-1,0) ]~ [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_(1)=-2 sont bb"u"_1=t[(0),(0),(1)] . En prenant t=1 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_1 =[(0),(0),(1)] .

Pour lambda_(2,3)=3 , on a

(A-lambda_(2,3) I)bb"u"=bb"0"

=[(0,1,0),(0,0,0),(5,-1,-5) ] [(u_1),(u_2),(u_3)]=[(0),(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(0,1,0,|,0),(0,0,0,|,0) ,(5,-1,-5,|,0) ]~ [(1,0,-1,|,0),(0,1,0,|,0) ,(0,0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_(2,3)=3 sont bb"u"_2=t[(1),(0),(1)] . En prenant t=1 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_2 =[(1),(0),(1)] .

Pour lambda_(2,3)=3, la multiplicité géométrique est de 1, et donc inférieure à la multiplicité algébrique (qui est de 2). Cela signifie que la dimension de l’espace propre associé à est égale à 1 (tous les vecteurs propres sont traversés par le seul vecteur bb(u)_2 ).