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6.7 Systèmes homogènes à coefficients constants : valeurs propres complexes

Dans cette section, nous examinons les solutions d’un système homogène à coefficients constants bb"y"'=Abb"y" dans les situations où les valeurs propres de la matrice coefficient sont complexes. Normalement, ces valeurs propres sont des conjugués les unes des autres, ce qu’on représente par lambda=alpha+-ibeta, où i est l’unité imaginaire et alpha et beta sont des nombres réels. Comme dans le cas complexe d’équations différentielles du second ordre, on utilise la formule d’Euler pour convertir des exponentielles complexes en fonctions trigonométriques réelles, en commençant par la forme de solution supposée y=e^(rt)bb"u".

Théorème. Si une matrice nxxn Aa des valeurs propres complexes conjuguées lambda=alpha+-ibeta avec le vecteur propre correspondant bb"u"=bb"a"+-ibb"b", alors deux solutions linéairement indépendantes du système homogène bb"y"'=Abb"y" sont 

 bb"y"_1=e^(alphat)(bb"a"cos(betat)-bb"b"sin(beta t))

 bb"y"_2=e^(alphat)(bb"a"sin(betat)+bb"b"cos(beta t))

La solution générale du système est donnée par

 bb"y"(t)=c_1bb"y"_1+c_2 bb"y"_2

 bb"y"(t)= c_1e^(alphat)(bb"a"cos(betat)-bb"b"sin(beta t))+ c_2e^(alphat)(bb"a"sin(betat)+bb"b"cos(beta t)) (6.7.1)

où c_1 et c_2 sont des constantes arbitraires.

 

Exemple 6.7.1 : Trouver la solution générale d’un système homogène

Trouver la solution générale de

 bb"y"'=[(5,6),(-3,-1)]bb"y"

Afficher/Masquer la solution

 

1. Il faut d’abord trouver les valeurs propres de A.

Le polynôme caractéristique de la matrice coefficient A est donné par

 c_A(lambda)=det(A-lambda I)

 =|(5-lambda,6),(-3,-1-lambda) |

 =(5-lambda)(-1-lambda)+18

 =lambda^2-4lambda+13

 =(lambda-2)^2+9

Les racines de c_A(lambda), à savoir lambda=2+-i3, sont donc les valeurs propres deA.

2. Ensuite, on trouve les vecteurs propres correspondants en trouvant la solution à l’équation (lambda I-A)bb"u"=bb"0". Cependant, on doit seulement trouver le vecteur propre associé à l’une des valeurs propres, par exemple lambda_1=2+i3.

 (A-lambda_1 I)bb"u"=bb"0"

 [(5-(2+i3),6),(-3,-1-(2+i3)) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

 [(3-i3,6),(-3,-3-i3) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

 [(3-i3,6,|,0),(-3,-3-i3,|,0) ]~[(1,1+i,|,0),(0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à la valeur propre lambda_1=2+i3 sont bb"u"_1=t[(-1-i),(1)] pour t!=0. En prenant t=1, on a un vecteur propre basique

 bb"u"_1=[(-1-i),(1)] =[(-1),(1)]+i[(-1),(0)]

La partie réelle de bb"u"_1 est bb"a"=[(-1),(1)] et la partie imaginaire de bb"u"_1 est bb"b"=[(-1),(0)].

Le vecteur propre correspondant à la valeur propre conjuguée est le conjugué du vecteur propre bb"u"_1. Ainsi, le vecteur propre associé à la valeur propre lambda_2=2-i3 est

 bb"u"_2=[(-1+i),(1)] =[(-1),(1)]-i[(-1),(0)]

3. Une solution générale du système est donc donnée par l’équation présentée à la section 6.7.1.

 bb"y"(t)=c_1e^(2t)([(-1),(1)] cos(3t)-[(-1),(0)] sin(3 t))  +c_2e^(2t)([(-1),(1)] sin(3t)+[(-1),(0)] cos(3 t))

 =c_1e^(2t)([(-cos(3t)+sin(3t)),(cos(3t))] ) +c_2e^(2t)([(-sin(3t)-cos(3t)),(sin(3t))] )

 

Prenons un exemple

 

 

Exemple 6.7.2 : Résoudre un problème de valeur initiale

Résoudre le système d’équations différentielles avec des conditions initiales

 bb"y"' = [[1,3],[-15,-11]] \ bb"y", \quad \ bb"y"(0) = [(-3), (12)].

Afficher/Masquer la solution

 

1. Il faut d’abord trouver les valeurs propres de A.

Le polynôme caractéristique de la matrice coefficient A est donné par

 c_A(lambda)=det(A-lambda I)

 =|(1-lambda,3),(-15,-11-lambda) |

 =(1-lambda)(-11-lambda)+45

 =lambda^2+10lambda+34

 =(lambda+5)^2+9

Les racines de c_A(lambda), à savoir lambda=-5+-i3, sont donc les valeurs propres de A.

2. Ensuite, on trouve les vecteurs propres correspondants en trouvant la solution à l’équation (A-lambda I)bb"u"=bb"0". Cependant, on doit seulement trouver le vecteur propre associé à l’une des valeurs propres, par exemple lambda_1=-5-i3.

 (lambda_1 I-A)bb"u"=bb"0"

 [(1-lambda,3),(-15,-11-lambda) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

 [(6+i3,3),(-15,-6+i3) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

 [(6+i3,3,|,0),(-15,-6+i3,|,0) ]~   [(1,2/5-i1/5,|,0),(0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à la valeur propre lambda_1=-5-i3 sont bb"u"_1=t[(-2/5+i1/5),(1)] pour t!=0. En prenant t=5, on a un vecteur propre basique

 bb"u"_1=[(-2+i),(5)] =[(-2),(5)]+i[(1),(0)]

La partie réelle de bb"u"_1 est bb"a"=[(-2),(5)] et la partie imaginaire de bb"u"_1 est bb"b"=[(-1),(0)].

Le vecteur propre correspondant à la valeur propre conjuguée est le conjugué du vecteur propre bb"u"_1. Ainsi, le vecteur propre associé à la valeur propre  lambda_2=-5+i3 est

 bb"u"_1=[(-2+i),(5)] =[(-2),(5)]+i[(1),(0)]

3. Une solution générale du système est donc donnée par l’équation présentée à la section 6.7.1.

 bb"y"(t)=c_1e^(-5t)([(-2),(5)] cos(3t)-[(1),(0)] sin(3 t)) +c_2e^(-5t)([(-2),(5)] sin(3t)+[(1),(0)] cos(3 t))

4. On applique les conditions initiales pour trouver les constantes c_1 et c_2.

  bb"y"(0)=[(-3),(12)]

 c_1e^(0)([(-2),(5)] cos(0)-[(1),(0)] sin(0))  +c_2e^(0)([(-2),(5)] sin(0)+[(1),(0)] cos(0)) = [(-3),(12)]

 c_1[(-2),(5)]+c_2[(1),(0)]= [(-3),(12)]

On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues.

 {(-2c_1+c_2=-3),(5c_1=12 ):}

En résolvant le système, on trouve

 c_1=12/5,    c_2=9/5

La solution du problème de valeur initiale est donc

 bb"y"(t)=12/5e^(-5t)([(-2),(5)] cos(3t)-[(1),(0)] sin(3 t)) +9/5e^(-5t)([(-2),(5)] sin(3t)+[(1),(0)] cos(3 t))

 

Prenons un exemple

 

Section 6.7 Exercices

  1. Trouve une solution au système d’équations différentielles

     bb"y"'=[(-7,-12),(6,5)] bb"y"

    Afficher/Masquer la réponse

    bb"y"(t)=c_1e^(-t)([(-1),(1)]cos(6t)-[(1),(0)]sin(6t))+ c_2e^(-t)([(-1),(1)]sin(6t)+[(1),(0)]cos(6t))

  2. Résoudre le système d’équations différentielles avec des conditions initiales

     bb"y"' = [[4,2],[-29,-10]] \ bb"y", \quad \ bb"y"(0) = [(-2), (19)].

    Afficher/Masquer la réponse

    y_1(t)=-2 e^(-3t)cos(3t)+8 e^(-3t)sin(3t)

    y_2(t)=19 e^(-3t)cos(3t)-25 e^(-3t)sin(3t)

  3. Résoudre le système d’équations différentielles avec des conditions initiales

     bb"y"' = [[2,1],[-17,-6]] \ bb"y", \quad \ bb"y"(0) = [(-2), (11)].

    Afficher/Masquer la réponse

    y_1(t)=-2 e^(-2t)cos(t)+3 e^(-2t)sin(t)

    y_2(t)=11 e^(-2t)cos(t)-10 e^(-2t)sin(t)

Licence

Équations différentielles© par AMIR TAVANGAR. Tous droits réservés.

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