6.6 Systèmes homogènes à coefficients constants : valeurs propres réelles

AMIR TAVANGAR

6.6 Systèmes homogènes à coefficients constants : valeurs propres réelles

À la section 6.5, vous avons vu que les solutions de systèmes homogènes à coefficients constants

$\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$ (6.6.1)

présentent la forme

$\mathbf{y} = e^{rt}\mathbf{u}$

où est une valeur propre et $\mathbf{u}$ est le vecteur propre correspondant de la matrice coefficient .

Dans cette section, nous nous intéressons au cas où les valeurs propres d’une matrice sont distinctes et réelles.

Théorème : si une matrice n xx n a valeurs propres réelles et distinctes $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ et si $\mathbf{u}_i$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_i$ , alors les vecteurs $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n$ sont linéairement indépendants.

Dans ce contexte, les solutions de chaque valeur propre prennent la forme $y = e^{\lambda_i t}\mathbf{u}_i$ . Collectivement, l’ensemble ${e^{\lambda_1 t} \mathbf{u}_1, e^{\lambda_2 t} \mathbf{u}_2, \ldots, e^{\lambda_n t} \mathbf{u}_n}$ forme un ensemble fondamental de solutions pour le système homogène présenté à la section 6.6.1.

Par conséquent, la solution générale peut être exprimée comme une combinaison linéaire de ces solutions individuelles.

$\mathbf{y}(t) = c_1e^{\lambda_1 t} \mathbf{u}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{u}_2 + \ldots + c_n e^{\lambda_n t} \mathbf{u}_n$ (6.6.2)

où c_i est une constante arbitraire.

Exemple 6.6.1 : Trouver la solution générale d’un système homogène

Trouver la solution générale de

bb"y"'=[(-6,-3),(1,-2)]bb"y"

Afficher/Masquer la solution

1. Il faut d’abord trouver les valeurs propres de la matrice coefficient .

Le polynôme caractéristique de est donné par

c_A(lambda)=det(A-lambda I)

=|(-6-lambda,-3),(1,-2-lambda) |

=(lambda+6)(lambda+2)+3

=lambda^2+8lambda+15

=(lambda+5)(lambda+3)

Les racines de c_A(lambda) , à savoir lambda_1=-5 et lambda_2=-3 , sont les valeurs propres de .

2. Ensuite, pour trouver les vecteurs propres correspondants, il faut trouver la solution à l’équation (lambda I-A)bb"u"=bb"0" pour chaque valeur propre.

Pour lambda_1=-5 , on a

(lambda_1 I-A)bb"u"=bb"0"

[(-5+6,3),(-1,-5+2) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

[(1,3),(-1,-3) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_1=-5 sont bb"u"_1=t[(-3),(1)] pour t!=0 . En prenant t=1 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_1 =[(-3),(1)] .

Pour lambda_2=-3 , on a

(lambda_2 I-A)bb(u)=bb(0)

[(-3+6,3),(-1,-3+2) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

[(3,3),(-1,-1) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(3,3,|,0),(-1,-1,|,0) ]~ [(1,1,|,0),(0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_2=-3 sont bb"u"_2=t[(-1),(1)] pour t!=0 . En prenant t=1 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_2 =[(-1),(1)] .

3. Une solution générale du système est donnée par l’équation présentée à la section 6.6.2.

bb"y"(t)=c_1e^(-5t) [(-3),(1)]+c_2 e^(-3t) [(-1),(1)]

Prenons un exemple

Exemple 6.6.2 : Résoudre un problème de valeur initiale

Résoudre le système d’équations différentielles avec les valeurs initiales données.

${(y_1' = 4 y_1 -15 y_2),(y_2' = 2 y_1 -7 y_2):},$ $y_1(0) = 7, \quad y_2(0) = 3$

Afficher/Masquer la solution

1. On exprime d’abord le système dans la notation matricielle.

bb"y"'=[(4,-15),(2,-7) ]bb"y", bb"y"(0)=[(7),(3)]

2. Ensuite, on trouve les valeurs propres de .

Le polynôme caractéristique de la matrice coefficient est donné par

c_A(lambda)=det(A-lambda I)

=|(4-lambda,-15),(2,-7-lambda) |

=(4-lambda)(-7-lambda)+30

=lambda^2+3lambda+2

=(lambda+1)(lambda+2)

Les racines de c_A(lambda) , à savoir lambda_1=-1 et lambda_2=-2 , sont les valeurs propres de .

3. On trouve ensuite les vecteurs propres correspondants.

Pour lambda_1=-1 , on a

(lambda_1 I-A)bb"u"=bb"0"

[(4+1,-15),(2,-7+1) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

[(5,-15),(2,-6) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(5,-15,|,0),(2,-6,|,0) ]~ [(1,-3,|,0),(0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_1=-1 sont bb"u"_1=t[(3),(1)] pour t!=0 . En prenant t=1 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_1 =[(3),(1)] .

Pour lambda_2=-2 , on a

(lambda_2 I-A)bb"u"=bb"0"

[(4+2,-15),(2,-7+2) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

[(6,-15),(2,-5) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(6,-15,|,0),(2,-5,|,0) ]~ [(1,-5/2,|,0),(0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_2=-2 sont bb"u"_2=t[(5/2),(1)] pour t!=0 . En prenant t=2 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_2 =[(5),(2)] .

4. Une solution générale du système est donnée par l’équation présentée à la section 6.6.2.

bb"y"(t)=c_1e^(-t) [(3),(1)]+c_2 e^(-2t) [(5),(2)]

5. Enfin, on applique les conditions initiales pour trouver les constantes c_1 et c_2 .

bb"y"(0)=[(7),(3)]

c_1e^(0) [(3),(1)]+c_2 e^(0) [(5),(2)]=[(7),(3)]

[(3c_1+5c_2),(c_1+2c_2)]= [(7),(3)]

On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues.

${(3c_1+5c_2=7),(c_1+2c_2=3 ):}$

En résolvant le système, on trouve

c_1=-1, c_2=2

La solution du problème de valeur initiale est donc

bb"y"(t)=-e^(-t) [(3),(1)]+2 e^(-2t) [(5),(2)]

Prenons un exemple

Exemple 6.6.3 : Résoudre un problème de valeur initiale

Résoudre le système d’équations différentielles avec les valeurs initiales données.

${(y_1' = 3 y_1 +14 y_2-13y_3),(y_2' = 11 y_2 -7 y_3),(y_3' = 14 y_2 -10 y_3) :},$ $y_1(0) = -3, \ y_2(0) = -1, \ y_3(0)=1$

Afficher/Masquer la solution

1. On exprime d’abord le système dans la notation matricielle.

bb"y"'=[(3,14,-13),(0,11,-7),(0,14,-10) ]bb"y", bb"y"(0)=[(-3),(-1),(1)]

2. Il faut d’abord trouver les valeurs propres de la matrice coefficient .

Le polynôme caractéristique de est donné par

c_A(lambda)=det(A-lambda I)

=|(3-lambda,14,-13),(0,11-lambda,-7),(0,14,-10-lambda)|

=(3-lambda)|(11-lambda,-7),(14,-10-lambda)|

=(3-lambda)(lambda^2-lambda-12)

=(3-lambda)(lambda+3)(lambda-4)

Les racines de c_A(lambda) , à savoir lambda_1=3 , lambda_2=4 , et lambda_3=-3 , sont les valeurs propres de .

3. On trouve ensuite les vecteurs propres correspondants.

Pour lambda_1=3 , on a

(lambda_1 I-A)bb"u"=bb"0"

=[(0,14,-13),(0,8,-7),(0,14,-13)] [(u_1),(u_2),(u_3)]=[(0),(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(0,14,-13,|,0),(0,8,-7,|,0),(0,14,-13,|,0)]~ [(0,1,0,|,0),(0,0,1,|,0),(0,0,0,|,0)]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_1=3 sont bb"u"_1=t[(1),(0),(0)] pour t!=0 . En prenant t=1 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_1 =[(1),(0),(0)] .

Pour lambda_2=4 , on a

(lambda_2 I-A)bb"u"=bb"0"

=[(-1,14,-13),(0,7,-7),(0,14,-14)] [(u_1),(u_2),(u_3)]=[(0),(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(-1,14,-13),(0,7,-7),(0,14,-14)]~ [(1,0,-1),(0,1,-1),(0,0,0)]

Ainsi, les vecteurs propres correspondant à lambda_2=4 sont bb"u"_2=t[(1),(1),(1)] pour t!=0 . En prenant t=1 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_2 =[(1),(1),(1)] .

Pour lambda_3=-3 , on a

(lambda_3 I-A)bb"u"=bb"0"

=[(6,14,-13),(0,14,-7),(0,14,-7)] [(u_1),(u_2),(u_3)]=[(0),(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(6,14,-13),(0,14,-7),(0,14,-7)]~ [(1,0,-1),(0,1,-1/2),(0,0,0)]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_3=-3 sont bb"u"_3=t[(1),(1/2),(1)] pour t!=0 . En prenant t=2 , un vecteur propre basique correspondant à est bb"u"_3 =[(2),(1),(2)] .

4. Une solution générale du système est donnée par l’équation présentée à la section 6.6.2.

bb"y"(t)=c_1e^(3t) [(1),(0),(0)]+c_2 e^(4t) [(1),(1),(1)]+c_3e^(-3t)[(2),(1),(2)]

5. Enfin, on applique les conditions initiales pour trouver les constantes c_1 , c_2 et c_3 .

bb"y"(0)=[(-3),(-1),(1)]

c_1e^0 [(1),(0),(0)]+c_2 e^0 [(1),(1),(1)]+c_3e^0[(2),(1),(2)] =[(-3),(-1),(1)]

On obtient ainsi un système de trois équations à trois inconnues.

${(c_1+c_2+2c_3=-3),(c_2+c_3=-1 ),(c_2+2c_3=1):}$

En résolvant le système, on trouve

c_1=-4, c_2=-3, c_3=2

La solution du problème de valeur initiale est donc

bb"y"(t)=-4e^(3t) [(1),(0),(0)]-3 e^(4t) [(1),(1),(1)]+2e^(-3t)[(2),(1),(2)]

Prenons un exemple

À la section 6.4, nous avons vu comment les équations différentielles linéaires d’ordre supérieur peuvent être converties en systèmes d’équations linéaires du premier ordre. Cette transformation, associée à la méthode matricielle, offre plusieurs avantages, notamment une meilleure organisation du problème et une facilité de calcul. Bien que cette approche ne soit pas toujours plus courte que la méthode du polynôme caractéristique présentée à la section 3.2, en particulier pour résoudre des équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants, il est utile de comprendre ce processus. Pour illustrer son application, prenons un exemple.

Exemple 6.6.4 : Résoudre une équation différentielle du second ordre avec la méthode matricielle

Convertir l’équation différentielle donnée en un système linéaire du premier ordre et trouver la solution.

y''+3y'-10 y = 0, $y(0) = -3, \quad y'(0) = -13$

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a. Convertir l’équation en un système :

1a. Introduire une nouvelle variable x_i :

2a. Exprimer les dérivées en différenciant les équations ci-dessus et réarranger l’équation différentielle originale afin d’isoler y'' :

x_1'=y'=x_2

x_2'=y'' =-3y'+10y x_2'=-3x_2+10x_1

On exprime aussi les conditions initiales par rapport aux nouvelles variables :

x_1(0)=y(0)=-3

x_2(0)=y'(0)=-13

3a. Le système d’équations du premier ordre est donc

x_2'=10x_1-3x_2

$x_1(0)=-3, \ x_2(0)=-13$

b. Résoudre le système

1b. On exprime le système sous forme matricielle.

bb"x"'=[(0,1),(10,-3) ]bb"x", bb"x"(0)=[(-3),(-13)]

2b. Il faut d’abord trouver les valeurs propres de la matrice coefficient .

Le polynôme caractéristique de est donné par

c_A(lambda)=det(A-lambda I)

=|(0-lambda,1),(10,-3-lambda) |

=(-lambda)(-3-lambda)-10

=lambda^2+3lambda-10

=(lambda-2)(lambda+5)

Les racines de c_A(lambda) , à savoir lambda_1=2 et lambda_2=-5 , sont les valeurs propres de .

3b. On trouve ensuite les vecteurs propres correspondants.

Pour lambda_1=2 , on a

(lambda_1 I-A)bb"u"=bb"0"

[(-2,1),(10,-5) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(-2,1,|,0),(10,-5,|,0) ]~ [(1,-1/2,|,0),(0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_1=2 sont bb"u"_1=t[(1/2),(1)] pour t!=0 . En prenant t=2 , un vecteur propre basique est bb"u"_1 =[(1),(2)] .

Pour lambda_2=-5 , on a

(lambda_2 I-A)bb"u"=bb"0"

[(5,1),(10,2) ] [(u_1),(u_2)]=[(0),(0)]

Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.

[(5,1,|,0),(10,2,|,0) ]~ [(1,1/5,|,0),(0,0,|,0) ]

Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à lambda_2=-5 sont bb"u"_2=t[(-1/5),(1)] pour t!=0 . En prenant t=5 , un vecteur propre basique est bb"u"_2 =[(-1),(5)] .

4b. Une solution générale du système est donnée par l’équation présentée à la section 6.6.2.

bb"x"(t)=c_1e^(2t) [(1),(2)]+c_2 e^(-5t) [(-1),(5)]

5b. On applique les conditions initiales pour trouver les constantes c_1 et c_2 .

bb"x"(0)=[(-3),(-13)]

c_1e^(0) [(1),(2)]+c_2 e^(0) [(-1),(5)]=[(-3),(-13)]

[(c_1-c_2),(2c_1+5c_2)]= [(-3),(-13)]

On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues.

${(c_1-c_2=-3),(2c_1+5c_2=-13 ):}$

En résolvant le système, on trouve

c_1=-4, c_2=-1

La solution du problème de valeur initiale est donc

bb"x"(t)=-4e^(2t) [(1),(2)]- e^(-5t) [(-1),(5)]

c. Déterminer la solution de l’équation originale

Étant donné que bb"x"(t)=[(x_1),(x_2)]=[(y),(y')] , on voit que la solution de l’équation différentielle du second ordre d’origine est la ligne supérieure de la solution du système. La solution de l’équation d’origine est donc

y=-4e^(2t)+e^(-5t)

Prenons un exemple

Section 6.6 Exercices

Résous le système d’équations différentielles avec les valeurs initiales données.
${(y_1' = 7 y_1 -12 y_2),(y_2' = 2 y_1 -3 y_2):},$ $y_1(0) = 4, \quad y_2(0) = 1$

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Résous le système d’équations différentielles

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