6.5 Solutions de systèmes homogènes

A. Ensemble fondamental de solutions et wronskien

Commençons par étudier le système linéaire homogène

 (6.5.1)

où est une matrice constante à éléments réels et est la solution triviale du système. Toute autre solution est une solution non triviale.

Théorème. Si sont solutions linéairement indépendantes au système présenté dans la section 6.5.1 et est continue sur un intervalle ouvert , alors l’ensemble est appelé ensemble fondamental de solutions au système sur .

Comme expliqué à la section 6.2 sur l’indépendance linéaire, les vecteurs  sont linéairement indépendants si n’a pour solution que la solution triviale. Ainsi, si

     

alors 

Pour que cette solution soit unique, le déterminant de la matrice du coefficient de l’équation dont les colonnes sont les fonctions vectorielles  ne doit pas être nul. Le déterminant de la matrice du coefficient de l’équation est appelé wronskien et transcrit .

 

Théorème. Si le wronkien  de n’est pas nul en un point (et donc jamais nul) sur , alors est linéairement indépendant, formant un ensemble fondamental de solutions pour le système présenté à la section 6.5.1 sur . La matrice fondamentale du système est

 

 

Exemple 6.5.1 : Calculer le wronskien et trouver la solution générale pour une solution de système donnée

Étant donné que les fonctions vectorielles

   et  

sont des solutions d’un système à coefficient constant , a) calculer le wronkskien de et b) trouver la solution générale du système.

Afficher/Masquer la solution

 

a.

    

b) Comme , sont linéairement indépendants, l’ensemble est un ensemble fondamental de solutions au système et la matrice suivante est la matrice fondamentale du système.

 

La solution générale est donc

   

 

Prenons un exemple

 

B. Solutions de systèmes homogènes à coefficients constants

Pour trouver les solutions de systèmes homogènes à coefficients constants, représentés par le système présenté à la section 6.5.1, on applique une approche similaire à celle utilisée pour résoudre des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants.

À la section 3.2, on a trouvé une solution non triviale de la forme pour une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants. La section 6.4 a montré que toute équation différentielle linéaire d’ordre supérieur peut être exprimée comme un système linéaire d’équations différentielles du premier ordre. Par conséquent, il est raisonnable qu’une solution du système indiqué à la section 6.5.1 présente la forme

 (6.5.2)

Ici, est une constante et est un vecteur constant. L’étape suivante consiste à remplacer la solution présentée à la section 6.5.2 dans notre système. Ce qui donne

Après avoir annulé le terme exponentiel , on arrive à

En réarrangeant l’équation, on obtient

C’est l’équation caractéristique utilisée pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice , comme expliqué à la section 6.3. Pour que la solution que nous avons trouvée ne soit pas triviale, et  doivent correspondre à la valeur propre et au vecteur propre de la matrice , respectivement.

Ainsi, pour résoudre le système 6.5.1, il faut d’abord trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice coefficient . La structure de la solution varie selon la nature des valeurs propres, qui peuvent être réelles et distinctes, complexes ou répétées. Chacun de ces scénarios sera exploré dans les sections suivantes.

Section 6.5 Exercices