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6.4  Systèmes linéaires d’équations différentielles

A. Introduction

Après avoir exploré les équations différentielles du premier ordre et du second ordre, intéressons-nous maintenant aux systèmes d’équations différentielles. Ces systèmes permettent de modéliser des scénarios comportant de multiples processus interdépendants, ce qui est courant dans les situations complexes du monde réel.

Par exemple, dans un écosystème où interagissent des espèces comme les proies et les prédateurs, le taux de variation de la population de chaque espèce dépend non seulement de sa taille, mais aussi des populations d’autres espèces. Cette interaction conduit à un système d’équations différentielles, où chaque équation représente le taux de croissance d’une espèce, incarnant leurs interrelations. De même, dans les problèmes de mélanges avec des réservoirs interconnectés, la concentration dans un réservoir affecte et est affectée par les concentrations dans les réservoirs connectés. Dans les systèmes mécaniques, tels qu’un système masse-ressort à multiples masses et ressorts, le déplacement de chaque masse est influencé par ses voisines, formant un système d’équations différentielles interconnectées.

B. Systèmes d’équations différentielles linéaires du premier ordre

Cette section présente la méthode matricielle pour résoudre des systèmes d’équations différentielles linéaires du premier ordre. Ces systèmes sont caractérisés par le fait que chaque équation est du premier ordre et linéaire. Ils peuvent être écrits sous la forme suivante :

 {(y'_1=a_11y_1+a_12y_2+...+a_(1n)y_n+f_1(t)),(y'_2=a_21y_1+a_22y_2+...+a_(2n)y_n+f_2(t) ),(vdots),(y'_n=a_(n1)y_1+a_(n2)y_2+...+a_(n\n)y_n+f_n(t) ) :}

La notation matricielle simplifie la caractérisation et la résolution de ces systèmes, de la même manière que les systèmes d’équations algébriques. Un système linéaire du premier ordre peut être exprimé sous forme de matrice comme suit :

 [[y'_1],[y'_2], [vdots] ,[y'_n] ]=  [[a_11, a_12 ,..., a_(1n)],[a_21,a_22, ..., a_(2n)], [vdots,vdots ,ddots, vdots] ,[a_(n1), a_(n2) , ..., a_(n\n)] ]  [[y_1],[y_2], [vdots] ,[y_n] ]+ [[f_1],[f_2], [vdots] ,[f_n] ]

Dans la notation vectorielle, le système est écrit comme suit :

 bb(y')= A(t)bb(y) + bb(f)(t)  (6.4.1)

Ici, la matrice A(t) est la matrice coefficient et bb(f) est la fonction vectorielle de forçage. A(t) et bb(f) sont continues si leurs éléments sont continus. Si bb(f(t))=0 dans l’équation de la section 6.4.1, le système est homogène, sinon, il est non homogène.

Un problème de valeur initiale suppose de trouver une solution pour

 bb(y') = A(t)bb(y) + bb(f)(t),   bb(y)(t_0) = bb(k)  (6.4.2)

où veck est un vecteur constant représentant la condition initiale.

 veck=[[k_1],[k_2], [vdots] ,[k_n] ]

 

Exemple 6.4.1 : Écrire un système d’équations différentielles sous forme matricielle

Écrire le système d’équations différentielles donné sous forme matricielle.

 {(y'_1=2y_1+y_2-3e^(2t)),(y'_2=y_1+y_2+e^(2t)) :}

Afficher/Masquer la solution

 

Le système peut être écrit sous cette forme matricielle :

 [(y'_1),(y'_2)] =[(2,1),(1,1)][(y_1),(y_2)]+[(-3e^(2t)),(e^(2t))]

 bb (y)'=[(2,1),(1,1)]bb"y"+[(-3),(1)]e^(2t)

Un problème de valeur initiale pour le système peut être écrit comme ceci :

 bb"y'"=[(2,1),(1,1)]bb"y"+[(-3),(1)]e^(2t),          "y"(t_0)=[(k_0),(k_1)]

 

Prenons un exemple

 

Théorème d’existence et d’unicité des solutions. Si la matrice coefficient A(t) et la fonction de forçage bb"f"(t) sont continues sur un intervalle ouvert comportant t_0, alors il existe une solution unique au problème de valeur initiale suivant sur cet intervalle.

 bb"y"'=A(t)bb"y"+bb"f"(t),   bb"y"(t_0)=bb"k"

 

Exemple 6.4.2 : Vérifier la solution d’un système d’équations différentielles

a) Vérifier que

 bb"y"=c_1[(-5),(3)]e^(2t)+c_2[(2),(-1)]e^(t)

est une solution au système suivant pour n’importe quelles valeurs de c_1 et c_2.

 bb"y'"=[(-4,-10),(3,7)]bb"y"

b) Trouver la solution de la condition initiale

 bb"y'"=[(-4,-10),(3,7)]bb"y",    bb"y"(0)=[(1),(-2)]

Afficher/Masquer la solution

 

a) Si bb(y) est une solution au système, alors Abb(y)=bb(y)'.

 Côté gauche : 

  bb"Ay"= c_1[(-4,-10),(3,7)][(-5),(3)]e^(2t) +c_2[(-4,-10),(3,7)] [(2),(-1)]e^(t)

=c_1[(-10),(6)]e^(2t) +c_2[(2),(-1)]e^(t)

 Côté droit :         

  bb(y)'= c_1[(-5),(3)]d/dt( e^(2t))+c_2[(2),(-1)]d/dt( e^(t) )

 =2c_1[(-5),(3)]e^(2t)+c_2[(2),(-1)]e^(t)

 =c_1[(-10),(6)]e^(2t)+c_2[(2),(-1)]e^(t)

 Côté gauche = Côté droit

b) Comme la matrice coefficient est continue pour tous les nombres réels RR, le théorème d’existence des solutions garantit pour le problème de valeur initiale une solution unique sur RR. Pour trouver les constantes c_1 et c_2, il faut appliquer la condition initiale :

 bb"y"(0)=[(1),(-2)]

 c_1[(-5),(3)]e^(0)+c_2[(2),(-1)]e^(0)= [(1),(-2)]

[(-5c_1+2c_2),(3c_1-c_2)]= [(1),(-2)]

Cela donne un système de deux équations dans deux variables c_1 et c_2.

{(-5c_1+2c_2=1),(3c_1-c_2=-2 ):}

En résolvant le système, on trouve

c_1=-3,    c_2=-7

La solution du problème de valeur initiale est donc

bb(y)=-3[(-5),(3)]e^(2t)-7[(2),(-1)]e^(t)

 

Prenons un exemple

 

C. Équation différentielle d’ordren sous forme d’un système de n équations du premier ordre

Les équations différentielles de degré supérieur peuvent être transformées en systèmes d’équations différentielles du premier ordre. Cette conversion permet d’analyser des problèmes complexes d’ordre supérieur à l’aide de techniques et d’outils développés pour les systèmes du premier ordre. Cette approche est largement utilisée dans les méthodes numériques et l’analyse théorique dans diverses applications scientifiques et techniques. Voici un guide étape par étape de ce processus.

 

Comment convertir des équations différentielles d’ordre n en un système de n équations du premier ordre

Prenons une équation différentielle linéaire d’ordre n :

a_n(t)y^{(n)} + a_{n-1}(t)y^{(n-1)} + cdots + a_1(t)y' + a_0(t)y = g(t)

1. Introduire de nouvelles variables : introduire n nouvelles variables correspondant à la fonction y et à ses dérivées jusqu’à l’ordre n-1. Soit

 x_1 = y

x_2 = y'

x_3 = y''

  vdots

x_n = y^{(n-1)}

2. Exprimer les dérivées : exprimer les dérivées de ces nouvelles variables en fonction de l’équation différentielle d’origine.

 x_1' = y' = x_2

x_2' = y'' = x_3

 vdots

x_{n-1}' = y^{(n-1)} = x_n

 x_n' = y^{(n)} = g(t) - a_{n-1}(t)y^{(n-1)} - cdots - a_1(t)y' - a_0(t)y

On observe que la dernière équation est l’équation originale réarrangée pour la plus haute dérivée de y. Dans la dernière équation, remplacer les nouvelles variables par y et ses dérivées :

 x_n' = g(t) - a_{n-1}(t)x_n - cdots - a_1(t)x_2 - a_0(t)x_1

3. Écrire le système d’équations du premier ordre : on a maintenant un système de n équations différentielles linéaires du premier ordre :

 x_1' = x_2

 x_2' = x_3

vdots

 x_{n-1}' = x_n

x_n' = g(t) - a_{n-1}(t)x_n - cdots - a_1(t)x_2 - a_0(t)x_1

 

Exemple 6.4.3 : Écrire une équation différentielle du second ordre sous forme de système linéaire du premier ordre

Écrire l’équation différentielle du second ordre donnée sous forme de système d’équations différentielles linéaires du premier ordre

3y''+2y'-6y=2sin(t),    y(0)=1,\ y'(0)=-1

Afficher/Masquer la solution

 

1. Introduire une nouvelle variable x_i :

 x_1=y 

x_2=y' 

2. Exprimer les dérivées en différenciant les équations ci-dessus et réarranger l’équation différentielle originale afin d’isoler y'' :

 x_1'=y'=x_2

 x_2'=y'' =2/3sin(t)-2/3y'+2y image x_2' =2/3sin(t)-2/3x_2+2x_1

On exprime aussi les conditions initiales par rapport aux nouvelles variables :

 x_1(0)=y(0)=1

 x_2(0)=y'(0)=-1

3. Le système d’équations du premier ordre est donc

 x_1'=x_2

 x_2' =2x_1-2/3x_2+2/3sin(t)

 x_1(0)=1, \ x_2(0)=-1

 

Prenons un exemple

 

Section 6.4 Exercices

  1. Écris le système d’équations différentielles donné sous forme matricielle.

     {(y_1' = 2 y_1 -2 y_2 -2 t^4),(y_2' = 6 y_1 + 3 y_2 + 5 t^4):}

    Afficher/Masquer la réponse

     [(y_1'),(y_2')]=[(2,-2),(6,3)][(y_1),(y_2)]+[(-2),(5)]t^4

  2. Convertis l’équation différentielle donnée en un système d’équations du premier ordre avec x=u, \ y = u'.

     u''+5u'+2u = 2 e^(3t)

    Afficher/Masquer la réponse

    x'=y

    y'=-5y-2x+2e^(3t)

  3. Réécris le système d’équations linéaires

     [(x'),(y')] = [(3,-5),(2,4)] \ [(x),(y)]

    sous la forme d’une équation différentielle du second ordre pour x.

    Afficher/Masquer la réponse

     x''-7x'+22x=0

Licence

Équations différentielles© par AMIR TAVANGAR. Tous droits réservés.

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