6.2 Révision : indépendance linéaire et systèmes d’équations

AMIR TAVANGAR

6.2 Révision : indépendance linéaire et systèmes d’équations

A. Résolution de systèmes d’équations linéaires

La résolution de systèmes d’équations linéaires est un aspect fondamental de l’algèbre linéaire. Pour résoudre efficacement ces systèmes, on les exprime souvent sous forme matricielle. Prenons un système d’équations linéaires

${(a_11x_1+a_12x_2+...+a_(1n)x_n=b_1),(a_21x_1+a_22x_2+...+a_(2n)x_n=b_2 ),(\ \ \ \...),(\ \ \ \...),(\ \ \ \...),(a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+...+a_(m\n)x_n=b_m ) :}$

Ce système peut être représenté sous cette forme matricielle

[[a_11, a_12 ,..., a_(1n)],[a_21,a_22, ..., a_(2n)], [vdots,vdots ,ddots, vdots] ,[a_(m1), a_(m2) , ..., a_(mn)] ] [[x_1],[x_2], [vdots] ,[x_n] ]= [[b_1],[b_2], [vdots] ,[b_m] ]

qui est simplement transcrite

A bb(x) = bb(b)

Ici, est la matrice coefficient comportant les coefficients des variables du système, bb(x) est le vecteur (matrice colonne) représentant les variables et bb(b) est le vecteur (matrice colonne) représentant les constantes du côté droit de chaque équation. Si tous les termes constants du vecteur bb(b) sont nuls, alors le système d’équations linéaires constitue un système homogène. À l’inverse, si une quelconque constante de bb(b) n’est pas nulle, le système est non homogène.

Pour simplifier ce système, on peut utiliser une matrice augmentée, qui combine la matrice coefficient et le vecteur constant bb(b) en une seule et même matrice. Il suffit pour ce faire d’ajouter bb(b) en colonne supplémentaire à .

[[a_11, a_12 ,..., a_(1n),|,b_1],[a_21,a_22, ..., a_(2n),|,b_2], [vdots,vdots ,ddots, vdots,|,vdots] ,[a_(m1), a_(m2) , ..., a_(mn),|,b_m] ]

On effectue ensuite des opérations de ligne afin de simplifier systématiquement cette matrice augmentée, en préservant l’équivalence du système. Le but est d’obtenir soit une forme échelonnée en lignes (FEL) ou une forme échelonnée réduite en lignes (FERL). La FEL, obtenue grâce à la méthode d’élimination de Gauss, simplifie la matrice en une forme triangulaire supérieure où toutes les lignes non nulles sont situées au-dessus des lignes de tous les zéros et où chaque coefficient principal (premier nombre non nul dans une ligne) est à droite du coefficient principal de la ligne du dessus. La FERL, obtenue grâce à la méthode d’élimination de Gauss-Jordan, simplifie encore la FEL de sorte que chaque coefficient principal est le seul nombre non nul de sa colonne et est égal à 1, ce qui facilite la lecture des solutions directement à partir de la matrice.

Solutions possibles

La solution du système dépend de la forme finale de la matrice augmentée après application des opérations de ligne :

Solution unique : Si la matrice augmentée peut être réduite à une forme échelonnée en lignes où chaque variable a un coefficient principal 1 et s’il n’y a pas d’équations incohérentes (comme ), alors le système est cohérent et a une solution unique.

Regarder la vidéo : Solution unique

Pas de solution : Si la matrice produit une contradiction (comme ), alors le système est incohérent et n’a pas de solution.

Regarder la vidéo : Solutions possibles

Solutions infinies : Si le système a au moins une ligne où tous les coefficients sont nuls, mais que le système est cohérent (comme ), alors le système à un nombre infini de solutions. En ce cas, la solution est généralement exprimée sous forme paramétrique. Ce cas se présente normalement lorsqu’il y a moins d’équations indépendantes que de variables.

Regarder la vidéo : Solutions infinies

B. Indépendance linéaire

Il est également important de comprendre le concept d’indépendance linéaire pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et d’équations différentielles. Il permet de déterminer si un ensemble de solutions constitue une base valide pour l’espace des solutions et si les solutions sont uniques et couvrent l’ensemble de l’espace des solutions.

Un ensemble de vecteurs dans un espace vectoriel est dit linéairement indépendant si aucun vecteur de l’ensemble ne peut être écrit comme une combinaison linéaire des autres. Considérons un ensemble de vecteurs

${ bb(v)_1, bb(v)_2, ..., bb(v)_n }.$

Les vecteurs sont linéairement indépendants si la seule solution à l’équation

$c_1 bb{v}_1 + c_2 bb{v}_2 + ... + c_n bb{v}_n = bb{0}$

est c_1 = c_2 = ... = c_n = 0 , où bb{0} est le vecteur nul et c_1, c_2, ..., c_n sont des constantes. Autrement dit, aucun des vecteurs ne peut être exprimé sous forme de combinaison linéaire des autres vecteurs. S’il existe au moins une solution non triviale (où tous les c_i ne sont pas nuls) à cette équation, alors les vecteurs sont linéairement dépendants. Autrement dit, un des vecteurs au moins de l’ensemble peut être écrit comme une combinaison linéaire des autres segments.

Pour vérifier l’indépendance ou la dépendance linéaire, on peut représenter ce système sous cette forme matricielle

V bb(c)=bb(0)

où est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs de l’ensemble.

Test d’indépendance linéaire

Au moyen d’une matrice : former une matrice avec ces vecteurs comme colonnes. L’ensemble de vecteurs est linéairement indépendant si le déterminant de n’est pas nul. Si le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants.
Réduction en lignes : réduire les lignes pour donner à la matrice une forme échelonnée en lignes (FEL) ou une forme échelonnée réduite en lignes (FERL). Si une colonne dans n’a pas de coefficient principal 1 (pivot), les vecteurs sont linéairement dépendants.

Si les vecteurs sont ainsi linéairement dépendants, la relation spécifique entre eux peut être déterminée en résolvant le système V bb(c)=bb(0) pour les constantes c_1,c_2,...,c_n .

Exemple 6.2.1 : Déterminer l’indépendance linéaire

Déterminer si l’ensemble de vecteurs donné est linéairement indépendant ou dépendant. En cas de dépendance linéaire,trouver la relation exacte entre les vecteurs.

$bb v_1=[(1),( 5),(1)], \ bb v_2=[( -1),( 7),(-1)], \ bb v_3=[( 6),( 0),(9)]$

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Pour tester l’indépendance linéaire d’un ensemble de vecteurs, il faut d’abord former une matrice avec ces vecteurs en colonnes, puis déterminer si les déterminants sont non nuls.

V=[[1,-1,6],[5,7,0],[1,-1,9]]

det(V)=36

Le déterminant n’est pas nul, donc les vecteurs sont linéairement indépendants.

Exemple 6.2.2 : Déterminer l’indépendance linéaire

Déterminer si l’ensemble de vecteurs donné est linéairement indépendant ou dépendant. S’il est dépendant, trouver la relation exacte entre les vecteurs.

$bb v_1=[(5),( 6),(-10)], \ bb v_2=[( 1),( -1),(-2)], \ bb v_3=[( 4),( -2),(-8)]$

Afficher/Masquer la solution

Pour tester l’indépendance linéaire d’un ensemble de vecteurs, il faut d’abord former une matrice avec ces vecteurs en colonnes

V=[[5,1,4],[6,-1,-2],[-10,-2,-8]]

En calculant le déterminant de , on trouve

det(V)=0

Comme le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants.

Pour trouver la relation entre les vecteurs, on résout le système V bb(c)=bb(0) .

On forme ensuite la matrice augmentée, puis on réduit les lignes pour la simplifier.

[[5,1,4,|,0],[6,-1,-2,|,0],[-10,-2,-8,|,0]]

En appliquant des opérations de ligne pour donner une forme FERL à la matrice, on obtient

[[1,0,2/11,|,0],[0,1,34/11,|,0],[0,0,0,|,0]]

La troisième colonne n’a pas de coefficient principal 1 (pivot), ce qui indique que c_3 est une variable libre.

En convertissant la première ligne de la FERL en équation, on obtient

c_1+2/11c_3=0 c_1=-2/11c_3

En convertissant la deuxième ligne de la FERL en équation, on obtient

c_2+34/11c_3=0 c_2=-34/11c_3

En choisissant c_3=11 pour simplifier, on trouve

c_1=-2/11(11)=-2

c_2=-34/11(11)=-34

c_3=11

la relation entre les vecteurs de l’ensemble est donc

c_1 bb(v_1)+c_2 bb(v_2)+c_3 bb(v_3)=bb(0)

-2bb(v_1)-34bb(v_2)+11bb(v_3)=bb(0)

Prenons un exemple

Section 6.2 Exercices

Résous le système d’équations donné.

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$x=5, \ y=1,\ c=-2$
Détermine si l’ensemble de vecteurs donné est linéairement indépendant en formant une matrice dont les colonnes sont les vecteurs et en calculant le déterminant de .

$bb(v_1)=[(5),( 6),(-10)], \ bb(v_2)=[( 2),( 1),(-4)], \ bb(v_3)=[( -2),( 0),(6)]$

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Le déterminant n’étant pas nul, les vecteurs sont linéairement indépendants.
Détermine si l’ensemble de vecteurs donné est linéairement indépendant en formant une matrice dont les colonnes sont les vecteurs et en calculant le déterminant de .

$bb (v_1)=[(6),( 2),(-18)], \ bb (v_2)=[( 4),( 1),(-12)], \ bb (v_3)=[( 0),( -3),(0)]$

Afficher/Masquer la réponse

Comme le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants.