4.8 Application : circuits électriques

AMIR TAVANGAR

4.8 Application : circuits électriques

A. Introduction

Cette section décrit brièvement l’utilisation pratique de la transformée de Laplace dans le domaine du génie électrique pour résoudre des équations différentielles et des systèmes d’équations différentielles associés à des circuits électriques. La transformée de Laplace est particulièrement utile pour convertir ces équations différentielles en formes algébriques plus faciles à gérer.

Commençons par un problème de valeur initiale (PVI) issu d’un circuit RLC de base. Nous démontrons comment la transformée de Laplace peut simplifier la recherche du courant du circuit en fonction du temps en traduisant une équation différentielle en une équation algébrique.

Exemple 4.8.1 : Circuit série RLC – Équation différentielle linéaire

Prenons un circuit série RLC avec une résistance de $0,06\ Omega$ , un inducteur de $0,01\ "H"$ et un condensateur de $50/89\ "F"$ alimenté par une source de tension de $E(t)=0.1sin(10t)\ "V"$ . Au départ, le courant et la charge sur le condensateur sont nuls. Déterminer le courant dans le circuit en fonction du temps.

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Informations données :

Résistance : $R=0,06\ Omega$
Inducteur : $L=0,01 \ "H"$
Condensateur : $C=50/89\ "F"$
Source de tension : $E(t)=0,1sin(10t)\ "V"$
Courant initial du condensateur :
Charge initiale du condensateur :

Dans l’exemple 3.9.1, nous avons développé le problème de valeur initiale régissant ce circuit RLC.

(d^2I)/(dt^2)+6 (dI)/dt+178I=100cos(10t), $I(0)=0, \ I'(0)=0$

En appliquant la transformée de Laplace à l’équation différentielle, on trouve

$\mathcal{L}{I''}+6\mathcal{L}{I'}+178\mathcal{L}{I}=(100s)/(s^2+10^2)$

Si $\mathcal{L}{I(t)}=J(s)$ , on a

$\mathcal{L}{I''}=s^2J(s)-sI(0)-I'(0)=s^2J(s)$

$\mathcal{L}{I'}=sJ(s)-sI(0)=sJ(s)$

Comme I(0) et I'(0) sont tous deux nuls, l’équation peut être simplifiée en

s^2J(s)+6sJ(s)+178J(s)=(100s)/(s^2+10^2)

En résolvant J(s) , on trouve

J(s)=(100s)/((s^2+10^2)(s^2+6s+178))

En décomposant J(s) en fractions partielles, on obtient

J(s)=1/807((650s+5000)/(s^2+10^2))- 1/807((650s+8900)/(s^2+6s+178))

Pour simplifier la seconde fraction, il faut compléter le carré.

J(s)=650/807(s/(s^2+10^2))+5000/807(1/(s^2+10^2)) - 650/807(s/((s+3)^2+13^2)) - 8900/807(1/((s+3)^2+13^2))

En appliquant la transformée inverse de Laplace à J(s) , on obtient le courant I(t) .

I(t)=650/807cos(10t)+500/807sin(10t)+ e^(-3t)(-650/807cos(13t)-6950/10491sin(13t))

Ce résultat est conforme à celui que nous avons obtenu dans l’exemple 3.9.1 en résolvant le problème de valeur initiale au moyen de la méthode des coefficients indéterminés.

B. Résolution de systèmes d’équations linéaires avec la transformée de Laplace

La transformée de Laplace peut être appliquée pour transformer certains systèmes d’équations différentielles avec valeurs initiales en systèmes d’équations algébriques dans le domaine s. La résolution de ces équations algébriques permet de trouver des fonctions de , que l’on peut ensuite reconvertir en solutions dans le domaine temporel à l’aide de la transformée inverse de Laplace. Nous aborderons ensuite un exemple plus complexe impliquant un circuit série-parallèle RL, qui se traduit par un système d’équations différentielles.

Exemple 4.8.2 : Circuit série RL – Système d’équations linéaires

a) Pour le schéma de circuit électrique donné, déterminer le système d’équations différentielles qui décrit les courants dans les différentes branches du circuit. Supposons que tous les courants initiaux sont nuls. b) Une fois que le système d’équations différentielles et les conditions initiales sont établis, résoudre le système pour les courants dans chaque branche du circuit.

Schéma de circuit avec une batterie de 12 V reliée à un réseau série-parallèle.

Description du schéma

Prenons un circuit alimenté par une batterie de 12 V CC. Une résistance de 4 Ω est branchée en série sur la borne positive de l’alimentation. Après cette résistance, le circuit se divise en deux branches parallèles. La première branche parallèle comporte une résistance de 2 Ω et la seconde un inducteur de 0,1 H. Ces deux branches convergent ensuite et le circuit continue à travers un inducteur de 0,2 H avant de revenir à la borne négative de l’alimentation. Compte tenu de cette configuration, calculer les courants I1 (aux bornes de la résistance de 4 Ω), I2 (aux bornes de la résistance de 2 Ω) et I3 (aux bornes de l’inducteur de 0,1 H). On suppose que les inducteurs sont en régime permanent.

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a.

On représente le courant passant par la branche principale par I_1 , le courant passant par la résistance de 2 Ω par I_2 et le courant passant par l’inducteur de 0,1 H par I_3 .

Étant donné que la baisse de tension aux bornes d’une résistance est et, aux bornes d’un inducteur, L(dI)/dt , on applique la loi des mailles de Kirchhoff au réseau électrique.

Dans la boucle principale comprenant un inducteur de 0,1 H, on trouve

4I_1+0,1(dI_3)/dt+0,2(dI_1)/dt=12

Dans la sous-branche comprenant la résistance de 2 Ω et l’inducteur de 0,1 H, on trouve

0,1(dI_3)/dt-2I_2=0

De même, comme le courant I_1 est divisé en I_2 et I_3 , on a

I_1=I_2+I_3

Le système d’équations décrivant les courants dans le circuit est donc

${(4I_1+0,1I'_3+0,2I'_1=12),(0,1I'_3-2I_2=0), (I_1-I_2-I_3=0) :}$ I_1(0)=I_2(0)=I_3(0)=0 (4.8.1)

b)

Pour résoudre le système, il faut appliquer la transformée de Laplace à chacune des équations du système :

${(4\mathcal{L}{I_1}+0,1\mathcal{L}{I'_3}+0,2\mathcal{L}{I'_1}=12/s),(0.1\mathcal{L}{I'_3}-2\mathcal{L}{I_2}=0), (\mathcal{L}{I_1}-\mathcal{L}{I_2}-\mathcal{L}{I_3}=0) :}$ (4.8.2)

Si $\mathcal{L}{I_1}=J_1(s)$ , $\mathcal{L}{I_2}=J_2(s)$ et $\mathcal{L}{I_3}=J_3(s)$ , on a

$\mathcal{L}{I'_1}=sJ_1(s)-I_1(0)$

$\mathcal{L}{I'_3}=sJ_3(s)-I_3(0)$

Comme les courants initiaux sont nuls, le système présenté à la section 4.8.2 peut être simplifié en

${(4J_1(s)+0,1sJ_3(s)+0,2sJ_1(s)=12/s),(0.1sJ_3(s)-2J_2(s)=0), (J_1(s)-J_2(s)-J_3(s)=0) :}$

Dans la troisième équation, on exprime J_2(s) en fonction des deux autres variables.

J_2(s)=J_1(s)-J_3(s) (4.8.3)

Ensuite, on remplace cette expression par J_2(s) dans la deuxième équation, ce qui réduit le système à deux équations à deux inconnues.

${(4J_1(s)+0,1sJ_3(s)+0,2sJ_1(s)=12/s),(0,1sJ_3(s)-2(J_1(s)-J_3(s))=0) :}$

$={((4+0,2s)J_1(s)+0,1sJ_3(s)=12/s),(-2J_1(s)+(0,1s+2)J_3(s)=0) :}$ (4.8.4)

Pour éliminer J_3(s) , on multiplie la première équation par (0,1s+2) et la deuxième équation par -0,1s , à la suite de quoi on additionne les deux équations. Cela donne