4.6 PVI avec fonctions de forçage définies par morceaux

AMIR TAVANGAR

4.6 PVI avec fonctions de forçage définies par morceaux

Résolution de problèmes de valeur initiale avec des fonctions de forçage définies par morceaux

Dans la section suivante, nous abordons les problèmes de valeur initiale (PVI) pour des équations différentielles du second ordre à coefficients constants lorsque la fonction de forçage f(t) est une fonction continue par morceaux.

$ay''+by'+cy=f(t)\;$ $y(0)=k_0, \ \ y'(0)=k_1$

Comment résoudre des PVI avec des fonctions de forçage définies par morceaux au moyen de la méthode de la transformée de Laplace

1. Écrire la fonction de forçage définie par morceaux en termes de fonction en escalier.

2. Déterminer la transformée de Laplace de l’équation différentielle.

3. Résoudre l’équation transformée pour Y(s) .

4. Utiliser les tables de transformées de Laplace et le théorème de translation vus dans les sections précédentes pour déterminer la transformée inverse de Laplace.

5. Au besoin, réécrire y(t) sous forme définie par morceaux.

Exemple 4.6.1 : Résoudre le PVI au moyen de la transformée de Laplace

Résoudre le problème de valeur initiale donné.

y''-3y'-10y =5-3tu_2(t), y(0)=0, y'(0)=4

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1. La fonction de forçage f(t) est déjà sous la forme modulée par échelons, avec u_2(t)=u(t-2) .

2. En prenant la transformée de Laplace de l’équation, on a

$\mathcal{L}{y''}+ \mathcal{L}{-3y''} +$ $\mathcal{L}{-10y}$ $=\mathcal{L}+ \mathcal{L}{-3tu(t-2)}$

Soit $Y(s)=\mathcal{L}{y}$ et sachant que $\mathcal{L}{tu(t-2)}=e^(-2s)\mathcal{L}{t+2}$ (application de l’équation de la section 4.5.3), on obtient

s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-3(sY(s)-y(0))-10Y(s)=5/s-3e^(-2s)(1/s^2+2/s)

En appliquant les conditions initiales, on obtient

s^2Y(s)-4-3sY(s)-10Y(s)=5/s-3e^(-2s)(1/s^2+2/s)

3. La résolution pour Y(s) donne

(s^2-3s-10)Y(s)=5/s-3e^(-2s)(1/s^2+2/s)+4

Y(s)=5/(s(s^2-3s-10) )-(3e^(-2s))/(s^2(s^2-3s-10) ) -(6e^(-2s))/(s(s^2-3s-10) )+4/(s^2-3s-10)

Y(s)=1/(s^2-3s-10 )(4)+ 1/(s(s^2-3s-10) )(5-6e^(-2s)) + 1/(s^2(s^2-3s-10) )(-3e^(-2s) )

En factorisant les dénominateurs, on obtient

Y(s)=1/((s+2)(s-5) )(4) +1/(s(s+2)(s-5) )(5-6e^(-2s))+ 1/(s^2(s+2)(s-5) )(-3e^(-2s))

4. Pour trouver $y(t)=\mathcal{L}^-1{Y(s)}$ , on note que

Y(s)=4F(s)+(5-6e^(-2s))G(s)+(-3e^(-2s)) H(s)

où

F(s)=1/((s+2)(s-5) ) =-1/7(1/(s+2))+1/7(1/(s-5))

G(s)=1/(s(s+2)(s-5) ) =-1/10(1/s)+1/14(1/(s+2))+1/35(1/(s-5))

H(s)=1/(s^2(s+2)(s-5) )

=3/100(1/s)-1/10(1/s^2) -1/28(1/(s+2))+1/175(1/(s-5))

En calculant la transformée inverse de Laplace de F(s) , G(s) et H(s) , on obtient

$f(t)=\mathcal{L}^-1{F(s)}$ =-1/7e^(-2t)+1/7e^(5t)

$g(t)=\mathcal{L}^-1{G(s)}$ =-1/10+1/14e^(-2t)+1/35e^(5t)

$h(t)=\mathcal{L}^-1{H(s)}$ =3/100-(t)/10-1/28e^(-2t)+1/175e^(5t)

Pour faciliter le processus d’inversion, on réécrit d’abord Y(s) .

Y(s)=4F(s)+5G(s)-3e^(-2s)(2G(s)+H(s))

En prenant la transformée inverse et en appliquant le théorème de translation pour les termes avec le terme exponentiel, on obtient

$y(t)=\mathcal{L}^-1{Y(s)} =$ $4\mathcal{L}^-1{F(s)} +5\mathcal{L}^-1{G(s)}$ $-3\mathcal{L}^-1{e^(-2s)(2G(s)+H(s)) }$

=4f(t)+5g(t)-3u(t-2)(2g(t-2)+h(t-2))

=4(-1/7e^(-2t)+1/7e^(5t)) +5(-1/10+1/14e^(-2t)+1/35e^(5t))- 3u_2(t)[2(-1/10+1/14e^(-2(t-2))+1/35e^(5(t-2)))+(3/100-(t-2)/10-1/28e^(-2(t-2))+1/175e^(5(t-2)))]

Prenons un exemple

Exemple 4.6.2 : Résoudre le PVI au moyen de la transformée de Laplace – Fonction de forçage définie par morceaux

Le courant dans un circuit série est régi par le problème de valeur initiale suivant. Déterminer le courant en termes de .

I''(t)+9I(t) $={(1 \ \ \ 0lttlt1),(-1 \ \ \ 1lttlt2) ,(0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2ltt):}$ I(0)=0, I'(0)=0

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1. La fonction de forçage f(t) peut être écrite en termes de fonction en escalier sous la forme

f(t)= 1 + u(t-1)(-1-1) +u(t-2)(0-(-1))

=1-2u(t-1)+u(t-2)

2. En prenant la transformée de Laplace de l’équation, on a

$\mathcal{L}{I''}+$ $\mathcal{L}{9I}$ $=\mathcal{L}{1-2u(t-1)+u(t-2)}$

Si $J(s)=\mathcal{L}{I}$ , on obtient

s^2J(s)+9J(s)=1/s-(2e^-s)/s+e^(-2s)/s

3. La solution pour J(s) donne

J(s)=1/(s(s^2+9))-(2e^-s)/(s(s^2+9))+e^(-2s)/(s(s^2+9))

4. Pour trouver $I(t)=\mathcal{L}^-1{J(s)}$ , on note que

J(s)=G(s)-2e^-sG(s)+e^(-2s)G(s)

où

G(s)=1/(s(s^2+9)) =1/9(1/s)-1/9(s/(s^2+9))

En calculant le transformée inverse de Laplace de G(s) , on obtient

$g(t)=\mathcal{L}^-1{G(s)}$ =1/9-1/9cos(3t)

En appliquant le théorème de translation, on obtient

$I(t)=\mathcal{L}^-1{J(s)}$ $=\mathcal{L}^-1{G(s)}$ $-2\mathcal{L}^-1{e^-sG(s)}$ $+\mathcal{L}^-1{e^(-2s)G(s)}$

=g(t)-2g(t-1)u(t-1)+g(t-2)u(t-2)

=1/9(1-cos(3t)) -2/9(1-cos(3(t-1)))u(t-1) +1/9(1-cos(3(t-2)))u(t-2)

5. Ce résultat peut être écrit sous la forme de la fonction définie par morceaux

I(t) $=-1/9{(cos(3t)-1\ quad\ \ \ 0lttlt1),(1+cos(3t)-2cos(3t-3) \ \ \ 1lttlt2) ,(cos(3t)-2cos(3t-3)+cos(3t-6) \ \ tgt2):}$

La figure ci-dessous représente le graphique du courant I(t) .

Prenons un exemple

Section 4.6 Exercices

Résous le problème de valeur initiale suivant. Ne donne que la solution de .
$y'' +10 y' + 26 y = {(3, 2 le t lt 3),(0,t ge 3 or t lt 2):}\ ,$

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La solution du PVI
$y'' - 5 y' + 6 y = {(1, 0 le t lt 6),(0,t ge 6):}, \quad\ y(0) = y'(0) = 0$

présente la forme . Trouve les fonctions et .

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La solution du PVI
$y'' - 3 y' + 2 y = {(1, 0 le t lt 9),(0,t ge 9):}, \quad \ y(0) = y'(0) = 0$

présente la forme . Trouve les fonctions et .

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