4.5 Transformée de Laplace de fonctions définies par morceaux

A. Fonction en escalier

Dans cette section, nous explorons l’application des transformées de Laplace à des fonctions continues par morceaux. Dans la section suivante, nous tâcherons de résoudre des problèmes de valeur initiale impliquant des équations différentielles du second ordre à coefficients constants où la fonction de forçage f(t) est une fonction continue par morceaux.

Les discontinuités à saut fini se produisent souvent dans des situations physiques telles que des mécanismes de commutation ou des changements brusques de forces agissant sur le système. Pour traiter ces discontinuités dans le domaine de Laplace, nous utilisons la fonction échelon unité pour transformer des fonctions définies par morceaux en une forme adaptée aux transformées de Laplace et trouver ensuite des inverses continues par morceaux des transformées de Laplace pour la solution.

La fonction échelon unité (ou fonction de Heaviside) u(t) est définie comme suit :

 u(t) = {(0,t lt 0),(1,t ge 0):}

Elle passe de 0 à 1 par échelons (ou sauts) à t=0. En déplaçant l’argument t, on peut déplacer l’échelon à différents endroits.

 u(t-a) = {(0,t-a lt 0),(1,t-a ge 0):}     image     u_a(t)=u(t-a) = {(0,t lt a ),(1,t ge a ):}

La fonction en escalier peut également être transformée, par exemple déplacée, étendue ou comprimée. Par exemple, en multipliant u(t) par une constante Mgt1, on peut l’étendre verticalement.

 Mu(t-a) = {(0,t lt a ),(M,t ge a ):}

Ou en combinant le déplacement et la réflexion de u(t), on peut opposer la permutation de la fonction.

 1-u(t-a) = {(1,t lt a ),(0,t ge a ):}

La fonction en escalier permet de représenter aisément n’importe quelle fonction continue par morceaux. Par exemple, prenons la fonction

 f(t) = {(f_0(t), \ 0 le t lt a),(f_1(t), t ge a):}

 = f_0(t){(1, \ 0 le t lt a),(0, t ge a):} +f_1(t){(0, \ 0 le t lt a),(1, t ge a):}

 =f_0(t)(1-u(t-a))+f_1(t)u(t-a)

Elle peut être réécrite sous la forme

 f(t)= f_0(t) + u(t-a)(f_1(t)-f_0(t)) (4.5.1)

On peut étendre l’équation de la section 4.5.1 à des fonctions continues par morceaux plus générales.

 f(t) = {(f_0(t), \ 0 le t lt a),(f_1(t), a le t lt b), (f_2(t), t ge b) :}

 f(t)= f_0(t) + u(t-a)(f_1(t)-f_0(t)) +u(t-b)(f_2(t)-f_1(t)) (4.5.2)

B. Transformée de Laplace de fonctions définies par morceaux

La transformée de Laplace de la fonction modulée par échelons est essentielle pour résoudre les équations différentielles avec des fonctions de forçage définies par morceaux.

Théorème : transformée de Laplace d’une fonction modulée par échelons. Soit g(t)défini sur [0,oo) et a ge 0, supposons que \mathcal{L}{g(t+a)} existe pour sgts_0. Alors,

 \mathcal{L}{u(t-a)g(t)}=e^(-as)\mathcal{L}{g(t+a)} (4.5.3)

Ce théorème permet la transformation de fonctions modulées par échelons dans le domaine de Laplace, qui peut alors être manipulé algébriquement.

 

Exemple 4.5.1 : Trouver la transformée de Laplace d’une fonction modulée par échelons

Trouver la transformée de Laplace de u(t-1)3t^2.

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Pour appliquer l’équation 4.5.3, il faut prendre g(t)=3t^2  et  a=1. On obtient ainsi

 g(t+1)=3(t+1)^2 =3t^2+6t+3

À partir de la table, on trouve \mathcal{L}{g(t+1)}.

 \mathcal{L}{g(t+1)}  =\mathcal{L}{3t^2+6t+3}

 =3\mathcal{L}{t^2} +6\mathcal{L}{t} +\mathcal{L}

 =6/s^3+6/s^2+3/s

Grâce à l’équation de la section 4.5.3, on obtient

 \mathcal{L}{u(t-1)3t^2}=e^(-s)(6/s^3+6/s^2+3/s )

 

Exemple 4.5.2 : Trouver la transformée de Laplace d’une fonction définie par morceaux

Trouver la transformée de Laplace de

 f(t) = {(2t-1, \ \ 0 le t lt 2),(4t, t ge 2):}

Afficher/Masquer la solution

 

Il faut d’abord écrire f(t) en termes fonction en escalier en utilisant l’équation de la section 4.5.1 avec a=2, f_0(t)=2t-1 et f_1(t)=4t.

 f(t)= 2t-1+ u(t-2)(4t-2t+1)

 =2t-1+u(t-2)(2t+1)

En prenant la transformée de Laplace, on obtient

 \mathcal{L}{f(t)}=\mathcal{L}{2t-1} +\mathcal{L}{u(t-2)(2t+1) }

Pour appliquer l’équation 4.5.3 au second terme, on prend g(t)=2t+1 et a=2.

 g(t+2)=2(t+2)+1 =2t+5

On a donc

 \mathcal{L}{f(t)}=\mathcal{L}{2t-1} +e^(-2s)\mathcal{L}{g(t+2)}

 =\mathcal{L}{2t}-\mathcal{L} +e^(-2s) \mathcal{L}{2t+5 }

 =2/s^2-1/s+e^(-2s)(2/s^2+5/s)

 

Prenons un exemple

 

C. Transformée inverse de Laplace de fonctions définies par morceaux

Le théorème précédent permet également de déterminer la transformée inverse de Laplace des fonctions issues de fonctions définies par morceaux. Cependant, il sera plus pratique de déplacer l’argument de g(t) et de remplacer g(t) avec g(t-a).

Théorème de translation en t . Si a ge 0 et si L(g) existe pour sgts_0, alors

 \mathcal{L}{u(t-a)g(t-a)}=e^(-as)\mathcal{L}{g(t)}

Étant donné que G(s)=\mathcal{L}{g(t)}, c’est équivalent à

 u(t-a)g(t-a) harr e^(-as) G(s) (4.5.4)

 

Exemple 4.5.3 : Trouver la transformée inverse de Laplace

Trouver la transformée inverse de Laplace de la fonction donnée et trouver des formules distinctes pour h(t) aux intervalles appropriés.

 H(s)=2/s-s/(s^2+1)+e^(-pi/2 s)((s-1)/(s^2+1))

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Comme H(s) a e^(-as) comme facteur, il faut utiliser l’équation 4.5.4 pour déterminer l’inverse.

Avec H_0(s)=2/s-s/(s^2+1) et H_1(s)=(s-1)/(s^2+1), on obtient

 h_0(t)=\mathcal{L}^-1{2/s-s/(s^2+1) } =2-cos(t)

 h_1(t)=\mathcal{L}^-1{s/(s^2+1) -1/(s^2+1) } =cos(t)-sin(t)

En utilisant l’équation 4.5.4 avec a=pi/2 et une linéarité de \mathcal{L}^-1, on a

 h(t)= \mathcal{L}^-1{H_0(s)} + \mathcal{L}^-1{e^(-pi/2s)H_1(s)}

    =h_0(t) + u(t-pi/2)(h_1(t-pi/2))

 =2-cos(t) +u(t-pi/2)(cos(t-pi/2)-sin(t-pi/2))

On peut simplifier en utilisant des identités trigonométriques : cos(t-pi/2)=sin(t) et sin(t-pi/2)=-cos(t). L’application de ces identités donne

 h(t)=2-cos(t) +u(t-pi/2)(sin(t)+cos(t))

Grâce à l’équation 4.5.1, on sait que

  • L’expression sans fonction unité, 2-cos(t), correspond à f_0(t), la fonction active avant l’échelon.
  • L’expression multipliée par la fonction unité, sin(t)+cos(t), représente le changement dans la fonction à l’échelon, correspondant donc à f_1-f_0.

Étant donné que f_0(t)=2-cos(t), il est possible de trouver la valeur de f_1(t).

 f_1-f_0=sin(t)+cos(t)

 f_1-(2-cos(t) )=sin(t)+cos(t)

f_1(t)=sin(t)+2

On peut maintenant exprimer h(t) comme une fonction définie par morceaux.

 h(t) = {(2-cos(t), \ \ 0 le t lt pi/2),(sin(t)+2, t ge pi/2):}

 

Prenons un exemple

 

Section 4.5 Exercices

  1. Trouve la transformée de Laplace, F(s), de f(t).

     f(t) = {(0,"si",t lt 3),(2 (t-3),"si",3 le t lt 7),(8,"si",t gt 7):}.

    Afficher/Masquer la réponse

    F(s)=(2 e^(-3s))/s^2-(2 e^(-7s))/s^2

  2. Prends la transformée inverse de Laplace pour déterminer y(t). Entre u_a(t) pour u(t-a) si la fonction unité est une partie de l’inverse.

     Y(s)=e^(-2s)/(s^2+4s+8)

    Afficher/Masquer la réponse

    y(t)=1/2sin(2(t-2))e^(-2(t-2))u_2(t)

  3. Applique la transformée de Laplace à l’équation différentielle et trouve la valeur de Y(s).

    y'' + 9 y = 4 (t-2) u_2(t) - 4 (t-3) u_3(t), \quad y(0) = y'(0) = 0

    Afficher/Masquer la réponse

     Y(s)=(4 e^(-2s)-4 e^(-3s))/(s^2(s^2+9))

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Équations différentielles© par AMIR TAVANGAR. Tous droits réservés.

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