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4.4 Résolution de problèmes de valeur initiale

Maintenant que nous avons vu la transformée de Laplace, son inverse et ses propriétés, nous sommes en mesure de résoudre des problèmes de valeur initiale (PVI) pour des équations différentielles linéaires. Nous nous concentrerons sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.

 

Méthode de transformée de Laplace pour des PVI

Approche générale :

1. Appliquer la transformée de Laplace pour chaque terme de l’équation différentielle. Utiliser les propriétés de la transformée de Laplace indiquées dans les tables 4.1 et 4.2 afin d’obtenir une équation en termes de Y(s). Les transformées de Laplace des dérivées sont

 \mathcal{L}{f'(t)} = sF(s) - f(0)

 \mathcal{L}{f''(t)\} = s^2F(s) - s f(0) - f'(0)

2. Les transformées des dérivées impliquent des conditions initiales à t=0. Appliquer les conditions initiales.

3. Simplifier l’équation transformée pour isoler Y(s).

4. Au besoin, utiliser la décomposition en fractions partielles pour décomposer Y(s) en composants plus simples.

5. Déterminer la transformée inverse de Laplace au moyen des tables et de la propriété de linéarité pour trouver y(t).

Approche abrégée :

1. Trouver la caractéristique polynomiale de l’équation différentielle p(s)=as^2+bs+c.

2. Remplacer p(s), F(s)=\mathcal{L}{f(t)} et les conditions initiales dans l’équation

 Y(s)=(F(s)+a(y'(0)+sy(0))+b y(0) )/(p(s)) (4.4.1)

3. Au besoin, utiliser la décomposition en fractions partielles pour décomposer Y(s) en composants plus simples.

4. Déterminer la transformée inverse de Laplace Y(s) au moyen des tables et de la propriété de linéarité pour trouver y(t).

 

Exemple 4.4.1 : Résoudre le PVI au moyen de la transformée de Laplace (approche générale)

Résoudre le problème de valeur initiale

 y''-5y'+6y=4e^(-2t)\ ;    y(0)=-1, \ y'(0)=2

Afficher/Masquer la solution

 

Approche générale

1. Prendre la transformée de Laplace des deux côtés de l’équation

 \mathcal{L}^-1{ y''}-5\mathcal{L}^-1{ y'}+6\mathcal{L}^-1{y}=4\mathcal{L}^-1{ e^(-2t)}

Si Y(s)=\mathcal{L}^-1{y}, on obtient

 s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-5(sY(s)-y(0))+6Y(s)=4(1/(s+2))

2. Introduire dans les conditions initiales pour obtenir

 s^2Y(s)+s-2-5(sY(s)+1)+6Y(s)=4(1/(s+2))

3. Rassembler des termes similaires et isoler Y(s) pour obtenir

 (s^2-5s+6)Y(s)=4/(s+2)-s+7

 Y(s)  =(4//(s+2)-s+7)/(s^2-5s+6)

Multiplier le dénominateur et le numérateur par (s+2) et factoriser le dénominateur pour obtenir

 Y(s)=(-s^2+5s+18)/((s+2)(s-3)(s-2))

4. Décomposer en fractions partielles pour obtenir

 Y(s)=1/5 (1/(s+2))+24/5 (1/(s-3))-6 (1/(s-2))

5. À partir de la table 4.1, on voit que

 1/(s-a)    harr \ \e^(at)

En prenant l’inverse, on obtient la solution de l’équation

 y(t)=\mathcal{L}^-1{Y(s)} =1/5 \ e^(-2t) +24/5 e^(3t)-6 e^(2t)

 

Exemple 4.4.2 : Résoudre le PVI au moyen de la transformée de Laplace (approche abrégée)

Résoudre le problème de valeur initiale

 y''+4y=3sin(t) \ ;    y(0)=1, \ y'(0)=-1

Afficher/Masquer la solution

 

Approche abrégée :1. Le polynôme caractéristique est

 p(s)=s^2+4

et

 F(s)=\mathcal{L}^-1{3sin(t)} =3/(s^2+1)

2. En les remplaçant ensemble par les valeurs initiales dans l’équation 4.4.1, on obtient

 Y(s)=(3//(s^2+1)+(-1+s(1)))/(s^2+4) =(3//(s^2+1)+s-1)/(s^2+4)

Multiplier le dénominateur et le numérateur par (s^2+1) pour obtenir

 Y(s)=(s^3-s^2+s+2)/((s^2+1)(s^2+4))

3. Décomposer en fractions partielles pour obtenir

 Y(s)=1/(s^2+1)+(s-2)/(s^2+4)

\ =1/(s^2+1)+s/(s^2+4)- 2/(s^2+4)

4. À partir de la table 4.1,

 sin(bt)\ harr\ b/(s^2+b^2)      et    cos(bt)\ harr\ s/(s^2+b^2)

En prenant l’inverse, on obtient la solution de l’équation

 y(t)=\mathcal{L}^-1{Y(s)} =sin(t)+cos(2t)-sin(2t)

 

Prenons un exemple

 

Section 4.4 Exercices

  1. Résous le PVI en utilisant la transformée inverse de Laplace y(t)=\mathcal{L}^-1{Y(s)}

     y'' +3 y' -10 y = 0, \ quad y(0) = -1, \ quad y'(0) = 2

    Afficher/Masquer la réponse

    y(t)=-3/7 e^(2t)-4/7 e^(-5t)

  2. Résous le PVI en utilisant la transformée inverse de Laplace y(t)=\mathcal{L}^-1{Y(s)}

     y'' +6 y' + 13 y = 0, \ quad y(0) = 2, \ quad y'(0) = 0

    Afficher/Masquer la réponse

    y(t)=e^(-3t)(2cos(2t)+3sin(2t))

  3. Résous le PVI en utilisant la transformée inverse de Laplace y(t)=\mathcal{L}^-1{Y(s)}

     y'' - 8 y' +16 y = 0, \ quad y(0) = 1, \ quad y'(0) = -1

    Afficher/Masquer la réponse

     y(t)=e^(4t)(1-5t)

Licence

Équations différentielles© par AMIR TAVANGAR. Tous droits réservés.

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