4.3 Transformée inverse de Laplace

AMIR TAVANGAR

4.3 Transformée inverse de Laplace

Dans les sections précédentes, nous avons défini la transformée de Laplace comme un opérateur intégral capable de représenter une fonction f(t) et ses dérivées dans une équation différentielle en une équation algébrique en termes de et de fonction F(s) . Pour résoudre des équations différentielles, il faut souvent obtenir f(t) à partir de sa transformée F(s) afin de résoudre le problème de valeur initiale d’origine. Ce processus est facilité par la transformée inverse de Laplace.

En règle générale, la formule d’inversion formelle n’est pas directement utilisée en raison de sa complexité. Au lieu de cela, on fait appel aux tables de transformées de Laplace pour trouver les transformées inverses de F(s) obtenues à partir du problème d’origine. La transformée inverse de Laplace est représentée par

$f=\mathcal{L}^-1{F}$

Linéarité de la transformée inverse de Laplace

Tout comme la transformée de Laplace, l’opération inverse est linéaire. Si F_1 et F_2 sont des fonctions dans le domaine s avec des constantes c_1 et c_2 , de sorte que la transformée inverse de Laplace d’une combinaison linéaire de F_1 et F_2 pour est donnée par

$\mathcal{L}^(-1){c_1F_1+c_2F_2}=c_1\mathcal{L}^(-1){F_1}+c_2\mathcal{L}^(-1){F_2}$

Cette propriété garantit que le processus de recherche de la transformée inverse d’une expression compliquée peut souvent être décomposé en parties plus simples et plus faciles à gérer.

Exemple 4.3.1 : Déterminer la transformée inverse de Laplace

Déterminer $\mathcal{L}^(-1){5/(s+7)+(8s)/ (s^2+16)}$ .

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À partir de la table 4.1

$e^(-7t)\ harr\ 1/(s+7)$ et $cos(4t)\ harr\ s/(s^2+4^2)$

À partir de la linéarité, on obtient donc

$\mathcal{L}^(-1){5/(s+7)+(8s)/ (s^2+16)}$ $=5\mathcal{L}^(-1){1/(s+7)}$ $+8\mathcal{L}^(-1){s/ (s^2+16)}$

À partir de la table des transformées de Laplace, on obtient

=5e^(-7t)+8cos(4t)

Prenons un exemple

Dans le processus de recherche de la transformée de Laplace inverse, on rencontre souvent la fonction rationnelle F(s) sous la forme

F(s)=(P(s))/(Q(s))

Ici, P(s) et Q(s) sont des polynômes. Pour s’assurer que F(s) représente une transformée de Laplace valide, on considère généralement des cas où le degré de P(s) est inférieur à celui de Q(s) , car on peut montrer que F(s) est une transformée de Laplace si . Cette condition est souvent appelée condition de régularité d’une fonction rationnelle dans le domaine de Laplace.

Dans ce cas, la recherche de l’inverse peut nécessiter de compléter le carré du dénominateur ou d’effectuer un développement partiel de la fraction, une technique similaire à celle utilisée dans le calcul intégral. Ces techniques sont particulièrement nécessaires lorsque l’on tente de faire correspondre F(s) à une transformée inversée connue à partir de tables standard. Le choix entre la complétion du carré et la décomposition en fractions partielles dépend de la nature et de la composition du dénominateur Q(s) .

La décomposition en fractions partielles constitue souvent la première approche considérée. Elle est efficace lorsque le dénominateur est factorisable en facteurs linéaires ou quadratiques irréductibles. Cette technique décompose les expressions rationnelles complexes en parties plus simples, ce qui facilite la recherche de la transformée inverse de Laplace pour chaque terme individuel.
La complétion du carré est utilisée lorsque le dénominateur comporte des termes quadratiques qui ne se factorisent pas en termes linéaires réels, ce qui indique souvent des racines complexes.

Pour illustrer ces méthodes, voici quelques exemples montrant comment appliquer ces techniques pour trouver la transformée inverse de Laplace de diverses fonctions.

Exemple 4.3.2 : Complétion du carré

Trouver la transformée inverse de Laplace

3/(s^2+2s+17)

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Le dénominateur n’est pas factorisable. On doit donc essayer de compléter le carré :

s^2+2s+17 =s^2+2s+1+16 =(s+1)^2+16 =(s+1)^2+4^2

À partir de la table 4.1, on voit que

b/((s-a)^2+b^2) $harr \ \e^(at) sin(bt)$

Ainsi, a=-1 et b=4 . Pour pouvoir utiliser la transformée inverse ci-dessus, il faut créer un 4 dans le numérateur. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur de la fonction d’origine par 4. On obtient

3/(s^2+2s+17) =3/4(4/((s+1)^2+4^2))

On peut maintenant utiliser l’inverse de la table

$\mathcal{L}^-1{3/(s^2+2s+17) }$ $=3/4\mathcal{L}^-1{4/((s+1)^2+4^2)}$ $=3/4 \ e^(-t) \ sin(4t)$

Prenons un exemple

Exemple 4.3.3 : Décomposition en fractions partielles

Trouver la transformée inverse de Laplace

(s^2-s-5)/((s-2)^2(s+1))

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Dans le dénominateur, on a un facteur linéaire répété s-2 de multiplicité deux et un facteur linéaire non répété s-1 . Cette composition nous conduit à structurer la décomposition en fractions partielles comme suit :

(s^2-s-5)/((s-2)^2(s+1)) =A/(s-2)+B/(s-2)^2+C/(s+1)

Une façon de trouver les constantes A, B et C consiste à multiplier les deux côtés de l’égalité par (s-2)^2(s+1) afin d’éliminer les dénominateurs :

s^2-s-5=A(s-2)(s+1)+B(s+1)+C(s-2)^2

On peut alors trouver la valeur des constantes en mettant en équation les coefficients de termes similaires des deux côtés. Cela forme un système d’équations.

Une autre méthode, souvent plus simple, consiste à choisir stratégiquement des valeurs pour qui simplifient l’équation et isolent chacune des constantes. Par exemple :

Pour B : soit s=2 , ce qui annule les termes avec A et C et conduit à :

2^2-(2)-5=A(2-2)(2+1)+B(2+1)+C(2-2)^2

-3=3B B=-1

Pour C : soit s=-1 , ce qui simplifie l’équation pour trouver la valeur de C :

(-1)^2-(-1)-5=A(-1-2)(-1+1)-(-1+1)+C(-1-2)^2

-3=9C C=-1/3

Pour A : choisir un différent, par exemple s=0 , pour isoler et trouver la valeur de A :

-5=A(-2)(1)-(1)-1/3(-2)^2 2A=5-1-4/3 2A=8/3

A=4/3

Avec A=4/3 , B=-1 , et C=-1/3 , la fraction partielle devient

$\mathcal{L}^-1{(s^2-s-5)/((s-2)^2(s+1)) }$ $=\mathcal{L}^-1{4/3(1/(s-2))-1/(s-2)^2-1/3(1/(s+1))}$

Avec la linéarité, la transformée inverse de Laplace est

$=4/3 \mathcal{L}^-1{1/(s-2)}-\mathcal{L}^-1{1/(s-2)^2}$ $-1/3\mathcal{L}^-1{1/(s+1)}$

Et, en se référant à la table des transformées inversés, on a

1/(s-a) $harr \ \e^(at)$ et (n!)/(s-a)^(n+1) $harr \ \t^n e^(at)$

En appliquant cela avec a=2 pour les deux premiers termes et a=-1 pour le dernier terme, on obtient

=4/3e^(2t)-t e^(2t)-1/3e^(-t)

Prenons un exemple

Section 4.3 Exercices

1. Trouve la transformée inverse de Laplace de la fonction $F(s)=(-s-6)/(s^2+49),\ s gt 0$ .
  
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2. Trouve la transformée inverse de Laplace de
  
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3. En résolvant une équation différentielle avec la transformée de Laplace, $Y(s) = \mathcal{L}{y}$ est
  
  Trouve la transformée inverse de Laplace de $y(t)=\mathcal{L}^-1{Y(s)}$ .
  
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4.3 Transformée inverse de Laplace

Linéarité de la transformée inverse de Laplace

Section 4.3 Exercices

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