4.2 Propriétés de la transformée de Laplace

AMIR TAVANGAR

4.2 Propriétés de la transformée de Laplace

Il est essentiel de comprendre les propriétés de la transformée de Laplace, car elle fournit des outils permettant de transformer et de manipuler efficacement les fonctions. Ces propriétés simplifient grandement l’analyse et la résolution des équations différentielles et des systèmes complexes.

A. Existence de la transformée

La transformée de Laplace existe pour toute fonction qui est (1) continue par morceaux et (2) d’ordre exponentiel (c’est-à-dire qui ne croît pas plus vite qu’une fonction exponentielle). Une fonction f(t) est dite d’ordre exponentiel s’il existe des constantes positives et si t_0 , de sorte que |f(t)|<=Me^(at), pour tous les . Par exemple, f(t)=e^(7t)cos(4t) est d’ordre exponentiel 7, mais g(t)=e^(t^3) n’est pas d’ordre exponentiel.

B. Linéarité de la transformée de Laplace

La transformée de Laplace obéit au principe de linéarité. Disons que f_1 et f_2 sont des fonctions pour lesquelles existe la transformée de Laplace et que c_1 et c_2 sont des constantes. Alors, pour , la transformée de Laplace d’une combinaison linéaire de ces fonctions est donnée par :

$\mathcal{L}{c_1f_1+c_2f_2}=c_1\mathcal{L}{f_1}+c_2\mathcal{L}{f_2}$

Cette propriété est utile avec les combinaisons linéaires de fonctions.

Exemple 4.2.1 : Trouver la transformée de Laplace avec le théorème de linéarité

Utiliser la table des transformées de Laplace et la propriété de linéarité pour déterminer

$\mathcal{L}{2e^(-3t)-6cos(4t)+9t^2}$ .

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1. À partir de la table

$\mathcal{L}{e^(-3t)}$ =1/(s-(-3))= 1/(s+3) pour

$\mathcal{L}{cos(4t)}$ =s/(s^2+4^2)=s/(s^2+16) pour

$\mathcal{L}{t^2}$ =(2!)/(s^(2+1))=2/(s^3) pour

2. À partir du théorème de linéarité, on a

$\mathcal{L}{2e^(-3t)-6cos(4t)+9t^2 }=$ $2\mathcal{L} {e^(-3t)}-6\mathcal{L} {cos(4t)}+9\mathcal{L} { t^2}$

=2(1/(s+3))- 6(s/(s^2+16) )+9(2/(s^3) )

=2/(s+3)- (6s)/(s^2+16)+18/(s^3) pour

Prenons un exemple

C. Premier théorème du déplacement

Si $F(s)= \mathcal{L}{f(t)}$ , alors

$\mathcal{L}$ ${e^(at)f(t)}=F(s-a)$

Ce théorème est très utile pour résoudre des équations différentielles avec des termes exponentiels ou pour analyser des systèmes avec des entrées exponentielles.

Exemple 4.2.2 : Trouver la transformée de Laplace avec le premier théorème du déplacement de Laplace et le théorème de linéarité

Utiliser le premier théorème du déplacement et la propriété de linéarité pour déterminer

$\mathcal{L}{2e^(9t)sin(7t)+8t^3 e^(-6t)}$ .

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Avec le premier théorème du déplacement, on a

$\mathcal{L}$ ${e^(at)f(t)}=F(s-a)$

1. Dans $\mathcal{L}{e^(9t)sin(7t)}$ , f(t)=sin(7t) et le coefficient dans l’exposant du terme exponentiel est a=9 .

$F(s)=\mathcal{L}{sin(7t)}$ =7/(s^2+7^2) pour

En déplaçant F(s) , on remplace par s-9.

$\mathcal{L}{e^(9t)sin(7t)}=F(s-9)$ =7/((s-9)^2+7^2) pour

2. Dans $\mathcal{L}{t^3e^(-6t))}$ , f(t)=t^3 et le coefficient dans l’exposant du terme exponentiel est a=-6 .

$F(s)=\mathcal{L}{t^3}$ =(3!)/(s^(3+1))=(3!)/(s^4) pour

En déplaçant F(s) , on remplace par s-(-6).

$\mathcal{L}{t^3e^(-6t))}=F(s+6)$ =6/((s+6)^4) pour

3. À partir du théorème de linéarité, on a

$\mathcal{L}{2e^(9t)sin(7t)+8t^3 e^(-6t)}$ $=2\mathcal{L}{e^(9t)sin(7t)}$ $+8\mathcal{L}{t^3 e^(-6t)}$

=2(7/((s-9)^2+49)) +8(6/(s+6)^4)

=14/((s-9)^2+49) +48/(s+6)^4 pour

Prenons un exemple

D. Différenciation dans le domaine temporel

Il faut absolument savoir transformer les dérivées pour résoudre efficacement des équations différentielles. Cette propriété permet d’exprimer la transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction en termes de transformée de la fonction originale. Pour une fonction f(t) avec des dérivées continues jusqu’au $n^{ième}$ ordre,

$\mathcal{L}{f'(t)} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}{f''(t)\} = s^2F(s) - s f(0) - f'(0)$

vdots

$\mathcal{L}{f^{(n)}(t)\} =$ $s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$

Comme nous traiterons principalement d’équations différentielles du second ordre, nous nous concentrerons sur la transformée de Laplace des dérivées première et seconde.

Exemple 4.2.3 : Transformée de Laplace de dérivée première

Pour la fonction f(t)=sin(3t) , montrer que $\mathcal{L}{f'(t)} = sF(s) - f(0)$ .

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Identifier la dérivée et la valeur initiale :

f(t)=sin(3t) f'(t)=3cos(3t) et

f(0)=sin(0)=0

Trouver les transformées de Laplace :

À partir de la table des transformées de Laplace, on a

$\mathcal{L}{cos(3t)}=s/(s^2+3^2)$

$\mathcal{L}{sin(3t)}=3/(s^2+3^2)$

Appliquer la propriété de différenciation :

Il faut montrer

$\mathcal{L}{3cos(3t) } = s \mathcal{L}{sin(3t) } - sin(0)$

En introduisant les transformées et la valeur initiale, on obtient

3(s/(s^2+3^2))=s(3/(s^2+3^2))-0

Et, en simplifiant les deux côtés, on a

(3s)/(s^2+3^2)=(3s)/(s^2+3^2

Cette égalité confirme la propriété de différenciation, puisque les deux côtés sont identiques.

Exemple 4.2.4 : Transformée de Laplace de dérivée seconde

Trouver la transformée de Laplace de y'' étant donné les conditions initiales y(0)=-3 et y'(0)=1 . Utiliser pour $\mathcal{L}{y}$ .

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À partir de la propriété de différenciation, on a

$mathcal{ L}{y''}= s^2Y-sy(0)-y(0)$

En insérant les conditions initiales y(0)=-3 et y'(0)=1 , on obtient

$\mathcal{L}{y''}=s^2Y+3s-1$

Prenons un exemple

La table 4.2.1 résume les propriétés ci-dessus de la transformée de Laplace. Ces propriétés sont cruciales pour simplifier les calculs et utiliser efficacement la transformée de Laplace dans la résolution des problèmes de valeur initiale.

Table 4.2.1 : Propriétés de la transformée de Laplace

Propriété	Exemple
$\mathcal{L}{f+g}$ $=\mathcal{L}{f} +\mathcal{L}{g}$	$\mathcal{L}{t+cos(2t)}$ $=\mathcal{L}{t}$ $+\mathcal{L}{cos(2t)}$
$\mathcal{L}{cf}$ $=c \mathcal{L}{f}$ pour n’importe quelle constante	$\mathcal{L}{4t}$ $=4\mathcal{L}{t}$
$\mathcal{L}{e^(at)f}(s)$ $=\mathcal{L}{f} (s-a)$	$\mathcal{L}{e^(3t)sin(5t) }$
$\mathcal{L}{f'}$ $=s\mathcal{L}{f} -f(0)$
$\mathcal{L}{f''}$ $=s^2\mathcal{L}{f} -s f(0)-f'(0)$
$\mathcal{L}{t^n f(t)}$ $=(-1)^n (d^n)/(ds^n)(\mathcal{L}{f})$	$\mathcal{L}{t^1 sin(7t)}$ $=(-1)^1 (d)/(ds)(\mathcal{L}{sin(7t)})$

Section 4.2 Exercices

Trouve la transformée de Laplace de la fonction $f(t)=-3t^5+9sin(t), \ t gt 0$ .

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$F(s)=-360/s^(6)+9/(s^2+1),\ sgt0$
Trouve la transformée de Laplace, , de la fonction
$10 e^(t)sin(t), \ t gt 0$ .

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$F(s)=10/((s - 1)^2+1),\ sgt1$
Trouve la transformée de Laplace de compte tenu des conditions initiales et .

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$\mathcal{L}{y''}=s^2Y-4s+2$

4.2 Propriétés de la transformée de Laplace

A. Existence de la transformée

B. Linéarité de la transformée de Laplace

C. Premier théorème du déplacement

D. Différenciation dans le domaine temporel

Section 4.2 Exercices

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