3.9 Application : circuits électriques RLC
Dans cette section 2.5F, nous avons exploré les équations différentielles du premier ordre pour des circuits électriques constitués d’une source de tension dotée soit d’une résistance et d’un inducteur (RL), soit d’une résistance et d’un condensateur (RC). Maintenant que nous savons résoudre les équations différentielles du second ordre, nous sommes prêts à nous lancer dans l’analyse de circuits RLC plus complexes, composés d’une résistance, d’un inducteur et un condensateur.
Jusqu’à présent, nous avons vu que :
- La loi d’Ohm stipule que la baisse de tension
aux bornes d’une résistance est proportionnelle au courant I circulant entre ces bornes, ce qui s’exprime par 
, où 
est la résistance. - La loi de Faraday, complétée par la loi de Lenz, stipule que la baisse de tension
aux bornes d’un inducteur est proportionnelle au taux de variation du courant, ce qui s’exprime par 
, où 
est l’inductance. - La baisse de tension
aux bornes d’un condensateur est proportionnelle à la charge électrique 
qui y est stockée, représentée par
, où 
est le condensateur.
Figure 3.9.1 Schéma de circuit série RLC
Sur ces bases, considérons que 
est la tension externe fournie au circuit série RLC représenté à la figure 3.9.1. En appliquant la loi des mailles de Kirchhoff, nous avons
En remplaçant ,
et dans cette équation, on obtient
En différenciant cette équation en fonction du temps et en remplaçant 
, on la transforme en équation différentielle du seconde ordre.
(3.9.2)
De même l’équation 3.9.1 peut être exprimée en termes de charge 
.
(3.9.3)
Étant donné et une condition initiale, telle qu’un courant initial 
et une charge initiale 
, on peut résoudre l’équation pour 
à l’aide des techniques abordées aux sections précédentes, par exemple la méthode des coefficients indéterminés. Une fois que est déterminé, la tension aux bornes des différents composants du circuit peut être calculée.
Prenons un circuit série RLC avec une résistance de 
et un inducteur de 
, ainsi qu’un condensateur de 
alimenté par une source de tension 
. Au départ, le courant et la charge sur le condensateur sont nuls. Déterminer le courant dans le circuit en fonction du temps.
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Informations données :
- Résistance :
- Inducteur :
- Condensateur :
- Source de tension :
- Courant initial du condensateur :
- Charge initiale du condensateur :
L’équation différentielle pour un circuit série RLC est donnée par l’équation 3.9.1.
Le problème de valeur initiale est donc
En multipliant l’équation par 100, on obtient
Étant donné que l’équation caractéristique a des racines complexes conjuguées 
, la solution complémentaire est
Trouver la solution particulière :
Pour trouver la solution particulière, il faut utiliser la méthode des coefficients indéterminés. Compte tenu de la fonction cosinus de forçage, on suppose que la forme de la solution particulière est
Les dérivées sont
En remplaçant 
et ses dérivées dans l’équation différentielle, on obtient
En simplifiant, cela donne
En faisant correspondre les coefficients des termes sinus et cosinus et en résolvant le système de deux équations dans les inconnues 
et 
, on obtient
La solution particulière est donc
En combinant les solutions particulière et complémentaire, on obtient la solution générale
Appliquer les conditions initiales :
L’équation du déplacement de l’objet est donc
Comme dans les scénarios de vibrations mécaniques forcées, le courant dans un circuit RLC est composé de deux parties distinctes : le courant transitoire, représenté par la solution complémentaire qui diminue à zéro à mesure que le temps progresse vers l’infini, et le courant en régime permanent, décrit par la solution particulière, qui est sinusoïdal et persiste dans le temps.
Prenons un exemple
Section 3.9 Exercices
- Considérons un circuit RLC équipé d’une résistance de
, d’un inducteur de 
et d’un condensateur de
alimenté par la tension
. a) Rédige l’équation différentielle associée à ce circuit en termes de courant 
. b) Si la charge initiale et le courant initial du condensateur sont tous les deux nuls, trouve le courant et les tensions aux bornes de la résistance en termes de temps 
.
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a)
b)
c)
- Considérons un circuit RLC équipé d’une résistance de
, d’un inducteur de et d’un condensateur de 
alimenté par la tension 
. a) Rédige l’équation différentielle associée à ce circuit en termes de courant . b) Si la charge initiale et le courant initial du condensateur sont tous deux nuls, trouve le courant .
Afficher/Masquer la réponse
a)
b)
