3.3 Équations différentielles linéaires non homogènes du second ordre

A. Solution générale d’équations non homogènes

Dans cette section, nous explorons les équations différentielles linéaires non homogènes du second ordre de la forme :

 (3.3.1)

Théorème d’unicité des solutions. Si  et  sont continus sur un intervalle ouvert  et si est dans l’intervalle, alors le problème de valeur initiale a une solution unique dans .

Pour résoudre l’équation 3.3.1, il faut d’abord trouver les solutions de l’équation homogène associée

  (3.3.2)

L’équation 3.3.2 est l’équation complémentaire à l’équation 3.3.1.

Théorème des solutions générales. est une solution particulière de l’équation non homogène 3.3.1 et est un ensemble fondamental de solutions à l’équation complémentaire 3.3.2. La solution générale de l’équation non homogène est donc

 . (3.3.3)

Ici, représente la solution de l’équation complémentaire associée, communément exprimée . L’équation 3.3.3 est donc souvent exprimée comme suit :

B. Principe de superposition

Le principe de superposition est un outil puissant qui permet de simplifier la résolution d’équations non homogènes. Il consiste à diviser la fonction de forçage en composantes plus simples, à trouver une solution particulière pour chaque composante, puis à additionner ces solutions pour obtenir une solution complète à l’équation d’origine.

Théorème. Si est une solution particulière de l’équation différentielle

et si est une solution particulière de l’équation différentielle

alors, pour n’importe quelle constante  et , est une solution particulière de l’équation différentielle