3.1 Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre

AMIR TAVANGAR

3.1 Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre

Les équations différentielles linéaires du second ordre présentent cette forme :

y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) (3.1.1)

Ici, est la fonction que nous recherchons et p(x) , q(x) et f(x) sont des fonctions connues. Dans le cas d’équations non homogènes, f(x) est ce que l’on appelle la fonction de forçage, représentant des forces ou influences externes. Commençons par le cas homogène, où f(x)=0 , nous explorerons le cas non homogène plus tard.

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 (3.1.2)

Théorème d’unicité des solutions. Si p(x) et q(x) sont continus sur un intervalle ouvert (a, b) , alors le problème de valeur initiale a une solution unique dans cet intervalle.

Théorème de combinaison linéaire. Supposons que y_1(x) et y_2(x) sont deux solutions de l’équation homogène 3.1.2 sur un intervalle ouvert (a, b) . En ce cas, n’importe quelle combinaison linéaire y = c_1y_1 + c_2y_2 constitue également une solution sur le même intervalle.

Toutes ces solutions, y_1 et y_2 , forment un ensemble fondamental ou une base pour l’espace des solutions si elles sont linéairement indépendantes. Partant, n’importe quelle solution à l’équation 3.1.2 peut être exprimée comme une combinaison linéaire de y_1 et y_2 . Le wronskien, W, est crucial pour déterminer l’indépendance linéaire. Pour y_1 et y_2 , le wronskien en tout x_0 dans (a,b) doit être non nul pour confirmer l’indépendance :

W = |(y_1(x_0),y_2(x_0)),(y_1'(x_0),y_2'(x_0))|= y_1(x_0)y'_2(x_0)-y'_1(x_0)y_2(x_0) (3.1.3)

Théorème d’indépendance linéaire. Si p(x) et q(x) sont continus sur (a, b) et si y_1 et y_2 sont des solutions, alors elles sont linéairement indépendantes sur (a, b) si et uniquement si le wronskien W n’est nulle part égal à zéro sur (a, b) .

Théorème d’Abel. Si p(x) et q(x) sont continus sur (a, b) et si x_0 est n’importe quel point dans (a, b) , alors le wronskien W(x) est donné par :

$W(x) = W(x_0)e^{\int_{x_0}^x p(t) dt}$

Le théorème d’Abel constitue un outil puissant pour analyser le comportement de solutions sur un intervalle, stipulant que si le wronskien n’est pas nul en un point et si p(x) est continu, alors le wronskien reste non nul dans tout l’intervalle.

Théorème d’équivalence : Lorsque p(x) et q(x) sont continus sur (a, b) , et compte tenu de deux solutions y_1 et y_2 à l’équation 3.1.2, les solutions suivantes sont équivalentes :

la solution générale de l’équation sur est
${y_1,y_2}$ est un ensemble fondamental de solutions de l’équation sur
${y_1,y_2}$ est linéairement indépendant sur
Le wronskien de ${y_1,y_2}$ n’est pas nul en un point dans
Le wronskien de ${y_1,y_2}$ n’est pas nul à tous les points dans

Grâce à ces théorèmes fondamentaux, nous disposons des outils nécessaires pour commencer à résoudre des équations différentielles linéaires homogènes du second ordre et nous préparer aux complexités des cas non homogènes.

Exemple 3.1.1 : Calculer le wronskien et trouver une solution générale à partir de deux solutions données

Les deux solutions de l’équation différentielle y''-11y'+30y = 0 sont y_1 = e^(6t) et y_2 = e^(5t) .

a) Trouver le wronskien des solutions et déterminer si elles sont linéairement indépendantes.

b) Trouver la solution générale de l’équation différentielle.

c) Trouver la solution satisfaisant les conditions initiales $y(0) = -5, \ y'(0) = -32$ .

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a) Pour trouver le wronskien, il faut utiliser l’équation 3.1.3. Il faut d’abord trouver les dérivées premières des solutions y_1 et y_2 .

y_1'=6e^(6t)

y'_2 = 5e^(5t)

W(t) = |(y_1,y_2),(y_1',y_2')|

W (t)= |(e^(6t),e^(5t) ),(6e^(6t),5e^(5t) ) |

=-e^(11t)!=0 pour tout instant

Le wronskien W(t)=-e^(11t) n’est jamais égal à zéro quelle que soit la valeur de, ce qui signifie que les solutions sont linéairement indépendantes sur l’intervalle (-oo,oo) .

b) Comme les solutions sont linéairement indépendantes, on peut exprimer la solution générale de l’équation différentielle comme une combinaison de ces solutions.

y=c_1y_1+c_2y_2

y=c_1e^(6t)+c_2e^(5t)

Ici, c_1 et c_2 sont des constantes qui seront déterminées en fonction des conditions initiales ou des exigences spécifiques du problème.

c) Il faut appliquer les conditions initiales pour trouver les constantes c_1 et c_2 .

En appliquant la condition initiale à :

y(0)=-5

c_1e^(0)+c_2e^(0)=-5

c_1+c_2=-5

En appliquant la condition initiale à :

y'=6c_1e^(6t)+5c_2e^(5t)

y'(0) = -32

6c_1e^(0)+5c_2e^(0)=-32

6c_1+5c_2=-32

Pour déterminer c_1 et c_2 , il faut résoudre le système suivant de deux équations et deux inconnues :

${(c_1+c_2=-5 ),(6c_1+5c_2=-32 ):}$

La résolution du système donne

c_1=-7, c_2=2

La solution du problème de valeur initiale est donc

y=-7e^(6t)+2e^(5t)

Prenons un exemple

Section 3.1 Exercices

Calcule le wronskien des fonctions et . Détermine si les fonctions sont linéairement indépendantes pour tous les nombres réels.

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; les fonctions sont linéairement indépendantes parce que pour tous les nombres réels.
Deux solutions à l’équation sont , .
a) Trouve le wronskien.
b) Trouve la solution satisfaisant les conditions initiales $y(0) = 2, \ y'(0) = -11$ .

Afficher/Masquer la réponse

a)

b)
Deux solutions à l’équation sont , .
a) Trouve le wronskien.
b) Trouve la solution satisfaisant les conditions initiales $y(0) = -5, \ y'(0) = 9$ .

Afficher/Masquer la réponse

a)

b)

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