2.3 Équations différentielles exactes
A. Introduction
Les équations différentielles exactes sont une catégorie d’équations différentielles du premier ordre qui peuvent être résolues avec une condition d’intégrabilité particulière. Cette section aborde les thèmes suivants : ce qui fait qu’une équation est exacte, comment vérifier cette condition et la méthodologie de résolution de ces équations.
Pour commencer, nous présentons un théorème fondamental, suivi d’un exemple illustrant son application. Ensuite, nous approfondissons le concept d’équations exactes et explorons une méthode pour les résoudre.
Théorème : si la fonction a des dérivées partielles continues et , alors l’équation est une solution implicite à l’équation différentielle .
Ce théorème peut être prouvé en utilisant la différenciation implicite.
Montrer que est une solution implicite à l’équation différentielle donnée.
Afficher/Masquer la solution
Pour appliquer efficacement le théorème, il faut définir comme la fonction donnée dans la solution. Ensuite, il faut montrer que les termes multipliés par dx et dy sont, respectivement, les dérivées partielles et de par rapport à et . Ce processus consiste à trouver ces dérivées partielles et à confirmer qu’elles correspondent aux termes respectifs de l’équation différentielle donnée.
En laissant , on obtient ses dérivées partielles :
Nous observons que et sont équivalents aux expressions multipliées par et dans l’équation, respectivement, ce qui confirme que est la solution à l’équation différentielle donnée.
B. Solution d’équations exactes
Nous allons maintenant nous concentrer sur une compréhension plus large des équations différentielles exactes. Considérons une équation différentielle exprimée sous la forme
qui peut aussi être représentée sous la forme
.
Une équation de cette forme est dite exacte s’il y a une fonction telle que ses dérivées partielles et correspondent à et , respectivement. En l’absence d’une telle fonction représente une solution à l’équation différentielle.
Par exemple, les équations et sont des exemples d’équations de forme exacte.
Les questions à se poser maintenant sont donc les suivantes :
- Comment déterminer si une équation différentielle donnée est exacte?
- Si elle est exacte, comment trouver la fonction et, par conséquent, une solution?
ou, de manière équivalente,
Cette relation est résumée dans le théorème ci-dessous.
1) Test d’exactitude
Théorème. Supposons que les dérivées premières de et sont continues dans une région rectangulaire . L’équation différentielle
est donc exacte dans si et uniquement si la condition suivante est satisfaite pour tous les dans :
Pour ce qui est de la seconde question sur la résolution d’une équation différentielle exacte, il faut suivre la procédure ci-dessous.
2) Méthode de résolution d’équations exactes
1*. Trouver : si l’équation est exacte, alors . Intégrer cette équation par rapport à pour trouver une partie de . Il ne faut pas oublier d’inclure une fonction arbitraire de l’autre variable, en l’occurrence .
2. Déterminer la fonction arbitraire :
a. Pour trouver ,il faut d’abord déterminer à partir de l’expression obtenue pour F(x,y) à l’étape 1. Comme doit être égal à à partir de l’équation différentielle exacte, il faut définir comme étant égal à et trouver la valeur de .
b. Après avoir isolé , il faut l’intégrer par rapport à pour obtenir . Définir la constante d’intégration sur zéro. Remplacer le déterminé dans l’expression de afin de terminer.
3. Formuler la solution générale : La solution de est donnée implicitement (sans solution pour ) par
où est une constante. L’équation représente la famille de courbes qui sont des solutions de l’équation différentielle.
*Remarque : à titre d’alternative, on peut aussi commencer par intégrer par rapport à , puis suivre les mêmes étapes pour trouver si l’intégration semble plus facile.
Déterminer si l’équation est exacte et, si tel est le cas, trouve la solution :
Afficher/Masquer la solution
1) Test d’exactitude :
Comme , l’équation est exacte.
2) Trouver la solution :
1. Nous savons que . Nous intégrons par rapport à :
2a. Pour trouver , il faut prendre la dérivée partielle de ci-dessus par rapport à :
Comme doit être égal à à partir de l’équation différentielle exacte, il faut définir comme étant égal à trouver la valeur de ou le déterminer par comparaison.
En comparant, nous déterminons que .
2b. En intégrant par rapport à y, on obtient . En définissant la constante d’intégration sur zéro, on obtient , soit .
3. Ainsi, l’équation différentielle a pour solution implicite
Prenons un exemple
Prenons un exemple
a) Résous le problème de valeur initiale et trouver la solution explicite . b) Déterminer l’intervalle de validité.
Afficher/Masquer la solution
a)
1) Test d’exactitude :
Comme , l’équation est exacte.
2) Trouver la solution générale :
Nous avons l’option d’intégrer par rapport à ou d’intégrer par rapport à . Comme les deux intégrales sont aussi simples l’une que l’autre, nous intégrons par rapport à pour varier les choses, en veillant à donner des exemples des deux méthodes.
1.
Il importe d’inclure une fonction arbitraire de , , puisque, cette fois, nous intégrons par rapport à .
2a. Pour trouver , il faut prendre la dérivée partielle de ci-dessus par rapport à :
Comme doit être égal à à partir de l’équation différentielle exacte, il faut définir comme étant égal à , puis trouver la valeur de ou la déterminer par comparaison.
2b. En intégrant par rapport à , on obtient. En définissant la constante d’intégration sur zéro, on a . Par conséquent,
3. Ainsi, l’équation différentielle a pour solution implicite
Appliquer la condition initiale :
La solution du PVI est donc
Comme nous devons trouver la solution explicite, nous réarrangeons l’équation afin de trouver la valeur de :
b) Trouver l’intervalle de validité :
Pour établir l’intervalle de validité de la solution, nous devons nous assurer que le dénominateur de la fonction rationnelle n’est pas égal à zéro afin d’éviter les expressions indéfinies :
L’intervalle de validité pour la solution est donc
Prenons un exemple
Section 2.3 Exercices
- Détermine si l’équation est exacte et, si tel est le cas, trouve la solution : .
Afficher/Masquer la réponse
- Résous l’équation différentielle : .
Afficher/Masquer la réponse
- Résous le problème de valeur initiale. Donne la solution explicite : , .
Afficher/Masquer la réponse