7.1 Introduction

Contrairement aux équations différentielles ordinaires (EDO), qui impliquent des dérivées par rapport à une seule variable, les équations différentielles partielles (EDP) impliquent des dérivées partielles d’une fonction par rapport à plusieurs variables indépendantes. Essentiellement, une EDP est une équation qui relie les dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables.

Les EDP sont fondamentales pour modéliser et comprendre les systèmes complexes du monde naturel, par exemple en physique, permettant de décrire la mécanique des ondes, les champs électromagnétiques et le transfert de chaleur. Par exemple, les équations de Maxwell, qui constituent la pierre angulaire de la théorie électromagnétique, sont exprimées sous forme d’EDP ou, dans le domaine de l’ingénierie, pour l’analyse des contraintes et des déformations dans les matériaux, la dynamique des fluides et la thermodynamique.

A. Problèmes de conditions aux limites

Dans le contexte des équations différentielles, particulièrement pertinent pour les étudiants en ingénierie, la compréhension des problèmes de conditions aux limites et des problèmes de valeur initiale est cruciale.

Un problème de conditions aux limites, ou problème aux limites, implique la résolution d’une équation différentielle soumise à un ensemble de contraintes appelées conditions aux limites. Ces conditions spécifient le comportement d’une solution aux limites du domaine sur lequel l’équation est définie. Dans le cas des équations différentielles partielles (EDP), ces domaines sont souvent spatiaux et les limites peuvent être physiques ou géométriques.

Un problème de valeur initiale, en revanche, implique la résolution d’une équation différentielle en fonction de la valeur de la solution en un point spécifique, souvent le début du domaine temporel. Pour les EDO et les EDP dépendantes du temps, ces conditions initiales spécifient l’état du système au début de la période observée.

B. Conditions aux limites et conditions initiales

• Conditions aux limites : il s’agit de contraintes spécifiées aux limites du domaine spatial d’une PDE. Elles peuvent être de différents types :
  • Conditions aux limites de Dirichlet : spécifient la valeur de la solution à la limite.
  • Conditions aux limites de Neumann : spécifient la valeur de la dérivée de la solution à la limite.
  • Conditions aux limites de Robin ou de troisième type : impliquent une combinaison de valeurs et de dérivées de la solution à la limite.
• Conditions initiales : elles spécifient l’état du système au début de la période d’observation, souvent l’instant  pour les problèmes dépendants du temps. Elles sont essentielles pour déterminer l’évolution unique du système au fil du temps.