6.10 Applications

A. Introduction

Dans cette section, nous revenons sur l’application des équations différentielles dans la modélisation des systèmes d’ingénierie. En particulier, nous nous intéressons aux vibrations mécaniques et aux circuits électriques, deux grands domaines donnant lieu à l’application de systèmes d’équations différentielles.

Les équations différentielles sont d’une grande utilité dans divers domaines d’ingénierie. En génie chimique, elles sont essentielles pour modéliser la cinétique des réactions et la dynamique des processus, notamment dans des scénarios tels que les problèmes de mélanges impliquant plusieurs réservoirs et substances, des facteurs déterminants pour la conception des réacteurs et l’optimisation des processus. En génie civil, les modèles d’équations différentielles sont indispensables pour évaluer la sécurité et la longévité des structures soumises à diverses conditions de charge, comme dans l’analyse de la résistance sismique des bâtiments à plusieurs étages. L’ingénierie aérospatiale se sert de ces équations pour simuler le mouvement des avions et des engins spatiaux, en y intégrant à la fois la dynamique de translation et la dynamique de rotation. Ces connaissances sont primordiales pour élaborer des systèmes de contrôle qui améliorent la stabilité et la manœuvrabilité. L’ingénierie environnementale utilise également des modèles d’équations différentielles pour suivre la propagation des polluants, ce qui permet de concevoir des mesures efficaces de protection de l’environnement.

B. Circuits électriques

Les lois de Kirchhoff, que nous avons vues à la section 2.5, servent de base à la dérivation des équations directrices. Ces lois facilitent l’analyse des circuits en fournissant une approche systématique du calcul des courants et des tensions en divers points du circuit. Dans les circuits plus complexes, par exemple les circuits série-parallèle,

C. Vibrations mécaniques

L’analyse des vibrations mécaniques est cruciale pour concevoir des systèmes résistants aux charges dynamiques. Un modèle plus réaliste qui capture l’essence des systèmes mécaniques implique de considérer non seulement les masses et les ressorts, mais aussi les éléments d’amortissement et les forces externes. Cette section se concentre sur un système composé de deux masses reliées par des ressorts dans un arrangement horizontal, avec amortissement et des forces externes agissant sur les deux masses. Un tel modèle peut représenter un large éventail d’applications techniques, des suspensions de véhicules aux composants de machines. Un schéma du système est présenté à la figure 6.10.1.

 Hypothèses

Pour procéder à la dérivation des équations du mouvement du système, on fait les hypothèses suivantes :

• Amortissement linéaire : chaque masse est couplée à un élément d’amortissement, caractérisé par les coefficients d’amortissement linéaire pour   et pour . Ces coefficients quantifient la résistance au mouvement de chaque masse.
• Forces externes : des forces externes dépendantes du temps et agissent respectivement sur et et sont considérées comme positives dans la direction droite.
• Élasticité linéaire : les ressorts obéissent à la loi de Hooke, c’est-à-dire que la force exercée sur chaque ressort est directement proportionnelle à son déplacement par rapport à la longueur de repos.
• Petits déplacements : l’analyse suppose de petits déplacements à partir du point d’équilibre, ce qui autorise la linéarisation du système. Les déplacements sont réputés être positifs lorsqu’ils sont orientés vers la droite.
• Corps rigide : les masses sont traitées comme des points matériels, tandis que les ressorts et les amortissements sont censés être de masse nulle, se concentrant uniquement sur les forces et déplacements axiaux.

 Configuration du système

Nous considérons un cas général avec un système constitué de deux masses,  ​ et , reliées par trois ressorts aux constantes de rigidité , et et augmentées par deux amortisseurs. Les ressorts extérieurs sont attachés à des parois fixes. Les forces externes agissent sur les masses et les amortisseurs contrecarrent leurs mouvements. Cette structure permet d’ajuster les forces externes et les effets d’amortissement, de façon à s’adapter aux scénarios dans lesquels ces forces sont absentes en fixant leurs valeurs respectives à zéro.