6.7 Systèmes homogènes à coefficients constants : valeurs propres complexes
Dans cette section, nous examinons les solutions d’un système homogène à coefficients constants dans les situations où les valeurs propres de la matrice coefficient sont complexes. Normalement, ces valeurs propres sont des conjugués les unes des autres, ce qu’on représente par , où est l’unité imaginaire et et sont des nombres réels. Comme dans le cas complexe d’équations différentielles du second ordre, on utilise la formule d’Euler pour convertir des exponentielles complexes en fonctions trigonométriques réelles, en commençant par la forme de solution supposée .
Théorème. Si une matrice a des valeurs propres complexes conjuguées avec le vecteur propre correspondant , alors deux solutions linéairement indépendantes du système homogène sont
La solution générale du système est donnée par
où et sont des constantes arbitraires.
Trouver la solution générale de
Afficher/Masquer la solution
1. Il faut d’abord trouver les valeurs propres de .
Le polynôme caractéristique de la matrice coefficient est donné par
Les racines de , à savoir , sont donc les valeurs propres de.
2. Ensuite, on trouve les vecteurs propres correspondants en trouvant la solution à l’équation . Cependant, on doit seulement trouver le vecteur propre associé à l’une des valeurs propres, par exemple .
Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.
Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à la valeur propre sont pour . En prenant , on a un vecteur propre basique
La partie réelle de est et la partie imaginaire de est .
Le vecteur propre correspondant à la valeur propre conjuguée est le conjugué du vecteur propre . Ainsi, le vecteur propre associé à la valeur propre est
3. Une solution générale du système est donc donnée par l’équation présentée à la section 6.7.1.
Prenons un exemple
Résoudre le système d’équations différentielles avec des conditions initiales
.
Afficher/Masquer la solution
1. Il faut d’abord trouver les valeurs propres de .
Le polynôme caractéristique de la matrice coefficient est donné par
Les racines de , à savoir , sont donc les valeurs propres de .
2. Ensuite, on trouve les vecteurs propres correspondants en trouvant la solution à l’équation . Cependant, on doit seulement trouver le vecteur propre associé à l’une des valeurs propres, par exemple .
Pour résoudre le système, on forme la matrice augmentée et on la transforme en FERL au moyen d’opérations de ligne.
Par conséquent, les vecteurs propres correspondant à la valeur propre sont pour . En prenant , on a un vecteur propre basique
La partie réelle de est et la partie imaginaire de est .
Le vecteur propre correspondant à la valeur propre conjuguée est le conjugué du vecteur propre . Ainsi, le vecteur propre associé à la valeur propre est
3. Une solution générale du système est donc donnée par l’équation présentée à la section 6.7.1.
4. On applique les conditions initiales pour trouver les constantes et .
On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues.
En résolvant le système, on trouve
La solution du problème de valeur initiale est donc
Prenons un exemple
Section 6.7 Exercices
- Trouve une solution au système d’équations différentielles
Afficher/Masquer la réponse
- Résoudre le système d’équations différentielles avec des conditions initiales
.
Afficher/Masquer la réponse
- Résoudre le système d’équations différentielles avec des conditions initiales
.
Afficher/Masquer la réponse