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6.1 Révision : Matrices

L’algèbre linéaire, en particulier l’étude des matrices, est indispensable pour comprendre et résoudre des systèmes d’équations différentielles. Cette section donne un aperçu ciblé des concepts clés de la théorie des matrices.

A. Définition de la matrice et notation

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, de symboles ou d’expressions, disposés en lignes et en colonnes. Les éléments individuels d’une matrice sont appelés éléments ou entrées. Une matrice est généralement désignée par une lettre majuscule (par exemple, A, B, C). L’élément figurant à la ligne iet la colonne j de la matrice A est noté a_(ij). Les dimensions d’une matrice sont données en « lignes» xx « colonnes ». Par exemple, une matrice A avec m lignes et n colonnes est une matrice mxxn.

 A = [[a_11, a_12 ,..., a_(1n)],[a_21,a_22, ..., a_(2n)], [vdots,vdots ,ddots, vdots] ,[a_(m1), a_(m2) , ..., a_(mn)] ]_(mxxn)

B. Matrices spéciales

Une matrice ligne a une seule ligne et plusieurs colonnes, tandis qu’une matrice colonne a une seule colonne et plusieurs lignes Elles sont également dénommées vecteurs ligne et vecteurs colonne, respectivement.

 x = [[a_11, a_12,...,a_(1n)]]_(1xxn)                     y = [[a_11],[a_(21)], [vdots] ,[a_(m1)] ]_(mxx1)

Une matrice comportant le même nombre de lignes et de colonnes est une matrice carrée. Par exemple, la matrice B est une matrice carrée nxxn.

 B = [[a_11, a_12 ,..., a_(1n)],[a_21,a_22, ..., a_(2n)], [vdots,vdots ,ddots, vdots] ,[a_(n1), a_(n2) , ..., a_(n\n)] ]_(nxxn)

Dans une matrice diagonale, les éléments en dehors de la diagonale principale sont tous nuls. La diagonale principale est l’ensemble d’éléments a_(ij) où i=j. Par exemple, la matrice C est une matrice diagonale nxxn.

 C = [[a_11, 0 ,..., 0],[0,a_22, ..., 0], [vdots, vdots,ddots, vdots] ,[0, 0 , ..., a_(n\n)] ]_(nxxn)

La matrice identité est un type particulier de matrice diagonale, où tous les éléments de la diagonale principale sont des 1. Elle est notée I ou I_n pour indiquer sa taille (nxxn).

 I_n = [[1, 0 ,..., 0],[0,1, ..., 0], [vdots, vdots,ddots, vdots] ,[0, 0 , ..., 1] ]_(nxxn)

La matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls. Elle est notée 0_(mxxn)pour indiquer ses dimensions.

 0_(mxxn) = [[0, 0 ,..., 0],[0,0, ..., 0], [vdots, vdots,ddots, vdots] ,[0, 0 , ..., 0] ]_(mxxn)

C. Opérations matricielles

Addition et soustraction de matrices

L’addition et la soustraction de matrices sont des opérations élémentaires qui consistent à additionner ou soustraire des matrices de mêmes dimensions, élément par élément. Si A=[a_(ij)] et B=[b_(ij)] sont des matrices de même taille, leur somme C=A+B est une matrice dont chaque élément c_(ij)=a_(ij)+b_(ij).

Ces opérations sont commutatives (c’est-à-dire A+B=B+A) et associatives (c’est-à-dire (A+B)+C=A+(B+C)).

Multiplication par un scalaire

La multiplication par un scalaire consiste à multiplier chaque élément d’une matrice par un scalaire (un nombre constant). Si k est un scalaire et si A=[a_(ij)], alors kA est une matrice dont chaque élément est ka_(ij).

La multiplication par un scalaire est distributive sur l’addition ou la soustraction de matrices (c’est-à-dire k(A+B)=kA+kB) et associative par rapport à la multiplication de scalaires (c’est-à-dire k(lA)=(kl)A).

 

Exemple 6.1.1 : Soustraction de matrices et multiplication par un scalaire

Trouver la matrice C où C=3A-B avec les matrices A et B.

 A=[[-1,3],[0,7]] et B=[[2,-4],[-2,5]]

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Les matrices A et B sont de la même taille et peuvent donc être soustraites.

 C=3A-B

 C=3[[-1,3],[0,7]] -[[2,-4],[-2,5]]

Il faut d’abord multiplier tous les éléments de la matrice A par 3.

 =[[-3,9],[0,21]] -[[2,-4],[-2,5]]

On soustrait ensuite les éléments correspondants.

 =[[-3-2,9-(-4)],[0-(-2),21-5]]

 C=[[-5,13],[2,16]]

 

Prenons un exemple

 

Multiplication par un scalaire

La multiplication par un scalaire n’est possible que lorsque le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Prenons deux matrices A_(mxxn) et B_(nxxp). Le produit de ces matrices donne une nouvelle matrice C_(mxxp), où la dimension de C est mxxp. Chaque élément de C est calculé en prenant le produit scalaire d’une ligne correspondante dans A et d’une colonne correspondante dans B. Le calcul de chaque élément à la ligne i et la colonne j de C est donné par la formule

 c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{i\n}b_{nj} (6.1.1)

La multiplication des matrices est associative, ce qui signifie que (AB)C = A(BC). Elle est aussi distributive sur l’addition, ce qui implique que A(B + C) = AB + AC. Cependant, elle n’est pas commutative, de sorte que AB n’est pas nécessairement égal à BA.

Les cas particuliers de la multiplication de matrices comprennent les interactions avec les matrices identité et les matrices nulles. La multiplication de n’importe quelle matrice par une matrice identité de taille appropriée laisse la matrice inchangée (c’est-à-dire AI = IA = A). N’importe quelle matrice multipliée par une matrice nulle donne une matrice nulle de dimensions appropriées.

 

Exemple 6.1.2 : Multiplication de matrices

Calculer la matrice C=AB sachant que

 A=[[1,4,-1],[2,0,-5]] et B=[[-7,3,-1,0],[-5,1,4,3],[0,-2,1,2]].

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Pour calculer le produit des matrices A et BT, AB, il faut d’abord s’assurer que la multiplication est possible. La matrice A a les dimensions 2xx3, et la matrice B les dimensions 3xx4. Comme le nombre de colonnes dans A (3) est égal au nombre de lignes dans B (3), la multiplication peut être effectuée. La matrice C ainsi obtenue aura les dimensions 2xx4.

On calcule chaque élément de la matrice C au moyen de l’équation 6.1.1 :

 c_ = (1)(-7)+(4)(-5)+(-1)(0)=-27

 c_ = (1)(3)+(4)(1)+(-1)(-2)=9

 c_ = (1)(-1)+(4)(4)+(-1)(1)=14

 c_ = (1)(0)+(4)(3)+(-1)(2)=10

 c_ = (2)(-7)+(0)(-5)+(-5)(0)=-14

 c_ = (2)(3)+(0)(1)+(-5)(-2)=16

 c_ = (2)(-1)+(0)(4)+(-5)(1)=-7

 c_ = (2)(0)+(0)(3)+(-5)(2)=-10

La matrice C obtenue est donc

 C=[[-27,9,14,10],[-14,16,-7,-10]]

 

Prenons un exemple

 

D. Déterminant de matrice

Le déterminant est une valeur scalaire associée à chaque matrice carrée. Il fournit des informations essentielles sur la matrice, telles que son inversibilité. Le déterminant d’une matrice A est noté comme suit

 det(A)=|A|

Pour une matrice 2xx2, le déterminant est calculé comme suit :

 |[a_11,a_12],[a_21,a_22]|=a_11a_22-a_21a_12(6.1.2)

Pour les matrices carrées plus grandes, le déterminant est généralement calculé à l’aide de la méthode d’expansion en cofacteurs. Par exemple, le déterminant d’une matrice 3xx3 peut être calculé en pratiquant une expansion selon n’importe quelle ligne ou colonne. Pour l’expansion selon la première ligne, la formule est

 |[a_11,a_12,a_13],[a_21,a_22,a_23] ,[a_31,a_32,a_33] |= a_11|[a_22,a_23],[a_32,a_33]|- a_12|[a_21,a_23],[a_31,a_33]|+ a_13|[a_21,a_22],[a_31,a_32]|(6.1.3)

Une autre approche du calcul des déterminants, notamment pour les grandes matrices, consiste à utiliser la réduction des lignes pour transformer la matrice en une forme triangulaire supérieure. Le déterminant est alors le produit des éléments diagonaux.

 

Exemple 6.1.3 : Trouver le déterminant

Trouver le déterminant des matrices données.

 A=[[-5,-1],[3,2]] et B= [[2,4,7],[5,-3,8],[0,-1,3] ]

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Pour trouver le déterminant de la matrice A, on utilise la formule présentée à la section 6.1.2.

 |A|= |[-5,-1],[3,2]|=(-5)(2)-(3)(-1)=-7

Pour trouver le déterminant de la matrice B, on utilise la formule présentée à la section 6.1.3.

 |B|=|[2,4,7],[5,-3,8] ,[0,-1,3] |= 2|[-3,8],[-1,3]|- 4|[5,8],[0,3]|+ 7|[5,-3],[0,-1]|

=2((-3)(3)-(-1)(8))-4((5)(3)-(0)(8))+ 7((5)(-1)-(0)(-3))

=2(-1)-4(15)+7(-5)

=-97

 

Prenons un exemple

 

E. Inverse de matrice

L’inverse d’une matrice carrée A, noté A^(-1), est une matrice qui, lorsqu’elle est multipliée par Adonne la matrice identité.

 A A^-1=A^-1 A=I_n

Une méthode courante pour trouver un inverse de matrice consiste à utiliser l’adjointe et le déterminant. La formule est

 A^{-1} = \frac{det(A)} \text{adj}(A)

où "adj"(A) est l’adjointe de A, calculée à partir des cofacteurs de A. Cette méthode consiste à calculer le déterminant puis la matrice cofacteur, qui est ensuite transposée pour obtenir la matrice adjointe. Pour une matrice 2xx2, A=[[a_11,a_12],[a_21,a_22]], l’inverse est donné par

 A^-1=1/(det(A))[[a_22,-a_12],[-a_21,a_11]](6.1.4)

Une autre méthode pour trouver l’inverse est la réduction de ligne, qui suppose d’augmenter la matrice A avec la matrice identité

 [A|I]

puis à effectuer des opérations sur les lignes pour transformer A en matrice identité. Les opérations permettant de transformer A en I transforment la matrice identité augmentée en A^{-1}.

 [I|A^-1]

Cette méthode est particulièrement utile pour les calculs numériques et les matrices plus grandes.

Si une matrice est inversible, son inverse est unique. Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est non singulière, c’est-à-dire que son déterminant n’est pas nul. Si le déterminant d’une matrice est nul, la matrice n’a pas d’inverse et est alors dite singulière.

 

Exemple 6.1.4 : Trouver l’inverse d’une matrice 2 par 2

Trouver l’inverse de la matrice A, si tant est qu’il existe.

 A=[[4,6],[2,6]]

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Il faut d’abord trouver le déterminant de A pour déterminer si elle a un inverse.

|A|=(4)(6)-(2)(6)=12

Le déterminant n’étant pas nul, il existe un inverse. Pour une matrice 2xx2, l’approche des cofacteurs, la formule de la section 6.1.4, est plutôt simple.

 A^-1=1/12[[6,-6],[-2,4]]

=[[1/2,-1/2],[-1/6,1/3]]

 

Prenons un exemple

 

 

Exemple 6.1.5 : Trouver l’inverse d’une matrice 3 par 3

Trouver l’inverse de la matrice A, si tant est qu’il existe.

 A=[[1,0,3],[-3,1,-9],[0,2,1]]

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Pour trouver l’inverse d’une matrice 3xx3, la méthode de la réduction de ligne est la plus directe. Pour trouver l’inverse de la matrice A par la méthode de réduction de ligne, on commence par former une matrice augmentée avec la matrice A et la matrice identité 3xx3I_3. Le but est d’effectuer des opérations sur les lignes pour transformer le côté gauche de la matrice augmentée (les trois premières colonnes) en matrice identité.

 [A|I]= [[1,0,3,|,1,0,0],[-3,1,-9,|,0,1,0],[0,2,1,|,0,0,1]]

Effectuer l’opération de ligne :

R2=R2+3R1 (Ajouter 3 fois la première ligne à la deuxième ligne) :

 [[1,0,3,|,1,0,0],[0,1,0,|,3,1,0],[0,2,1,|,0,0,1]]

R3=R3-2R2 (Soustraire 2 fois la deuxième ligne de la troisième ligne) :

 [[1,0,3,|,1,0,0],[0,1,0,|,3,1,0],[0,0,1,|,-6,-2,1]]

R1=R1-3R3 (Soustraire 3 fois la troisième ligne de la première ligne) :

 [[1,0,0,|,19,6,-3],[0,1,0,|,3,1,0],[0,0,1,|,-6,-2,1]]

Puisqu’on a réussi à transformer le côté gauche de la matrice augmentée en matrice identité, l’inverse de la matrice A existe et est donné par le côté droit de la matrice augmentée :

 A^-1=[[19,6,-3],[3,1,0],[-6,-2,1]]

 

Prenons un exemple

 

F. Calcul matriciel

La différentiation et l’intégration des matrices sont importantes dans le contexte des systèmes d’équations différentielles linéaires, en particulier pour trouver la solution de systèmes non homogènes.

Différenciation matricielle

La différenciation d’une matrice dont les éléments sont des fonctions implique de prendre la dérivée de chaque élément de la matrice individuellement. Considérons la matrice A(t)  dont les éléments sont une fonction de t.

 A(t) = [[a_11(t), a_12(t) ,..., a_(1n)(t)],[a_21(t),a_22(t), ..., a_(2n)(t)], [vdots,vdots ,ddots, vdots] ,[a_(m1)(t), a_(m2)(t) , ..., a_(mn)(t) ] ]

La dérivée de A(t) par rapport à t, notée A'(t) ou (dA)/(dt), est une matrice de la même taille dont chaque élément est la dérivée de l’élément correspondant de A(t).

 A'(t) = [[a'_11(t), a'_12(t) ,..., a'_(1n)(t)],[a'_21(t),a'_22(t), ..., a'_(2n)(t)], [vdots,vdots ,ddots, vdots] ,[a'_(m1)(t), a'_(m2)(t) , ..., a'_(mn)(t)] ]

Les règles standard de différenciation, y compris la règle du produit, la règle du quotient et la règle de la chaîne, s’appliquent à chaque élément de la matrice.

Intégration matricielle

L’intégration d’une matrice avec des éléments qui ont des fonctions est similaire à la différenciation et se fait par éléments. L’intégrale d’une matrice A(t) sur une variable t est une matrice de la même taille dont chaque élément est l’intégrale de l’élément correspondant de A(t).

 intA(t)dt = [[inta_11(t)dt, inta_12(t)dt ,..., inta_(1n)(t)dt],[inta_21(t)dt,inta_22(t)dt, ..., inta_(2n)(t)dt], [vdots,vdots ,ddots, vdots] ,[inta_(m1)(t)dt, inta_(m2)(t)dt , ..., inta_(mn)(t)dt ] ]

 

Exemple 6.1.6 : Intégration matricielle

Évaluer l’intégrale de la matrice A(t) par rapport à t.

 A(t) = [(4 e^(4t) , 3te^(-t^2)) , (t^2cos(-3t^3) , -5t^7)]

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L’intégrale de matrices est une opération qui s’effectue par éléments.

intA(t)dt=[intA_(ij)(t)dt]

 =[(int4 e^(4t) dt, int3te^(-t^2)dt) , (intt^2cos(-3t^3)dt , int-5t^7dt)]

 =[(e^(4t) , -3/2e^(-t^2)) , (-1/9sin(-3t^3) , -5/8t^8)]

 

Prenons un exemple

 

Section 6.1 Exercices

  1. Étant donné que A = [(0,-3,3),(3,4,-3)]  et B = [(-4,0,-4),(-3,0,0)], trouve la matrice C=2 A -4 B.
    Afficher/Masquer la réponse

     C=[(16,-6,22),(18,8,-6)]

  2. Trouve l’inverse de A = [(-8,3),(21,-8)].
    Afficher/Masquer la réponse

     A^-1=[(-8,-3),(-21,-8)]

  3. Trouve l’inverse de A = [(3,2,0),(1,1,0),(-2,-4,1)]. 
    Afficher/Masquer la réponse

    A^-1=[(1,-2,0),(-1,3,0),(-2,8,1)]

  4. Étant donné les matrices A=[(5,-5),(-2,-4)] et B=[(-2,1),(4,4)], trouve leur multiplication AB.
    Afficher/Masquer la réponse

     AB=[(-30,-15),(-12,-18)]

  5. Étant donné la matrice

     A(t) = [(-2 e^(4t) , 3te^(-3t^2)) , (-5tsin(4t^2) , -7t^-5)]

    Évaluer l’intégrale de A par rapport à t.

    Afficher/Masquer la réponse

    intAdt= [(-1/2 e^(4t) , -1/2e^(-3t^2)) , (5/8cos(4t^2) , 7/4t^-4)]

Licence

Équations différentielles© par AMIR TAVANGAR. Tous droits réservés.

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