5.2 Solutions en séries de puissances d’équations différentielles

AMIR TAVANGAR

5.2 Solutions en séries de puissances d’équations différentielles

Solutions en séries de puissances d’équations différentielles linéaires

Dans les sections précédentes, nous nous sommes principalement intéressés aux équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants. Cependant, de nombreuses applications physiques conduisent à des équations différentielles linéaires homogènes du second ordre plus complexes de la forme

P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0 (5.2.1)

où $P_0, \ P_1,$ et P_2 sont des polynômes sans facteur commun. Souvent, les solutions à l’équation de la section 5.2.1 ne peuvent pas être exprimées sous la forme de fonctions familières, ce qui incite à utiliser des solutions en séries. On commence par normaliser l’équation en la divisant par P_0(x) afin que le coefficient de y'' soit égal à 1.

y''+(P_1(x))/(P_0(x) )y'+(P_2(x))/(P_0(x) ) y=0

Étant donné la continuité des polynômes, P_1//P_0, et P_2//P_0 sont continus, sauf éventuellement lorsque P_0(x_0)=0 . Un point x_0 où P_0(x_0)!=0 est appelé point ordinaire de l’équation de la section 5.2.1; sinon, c’est un point singulier. Il faut savoir que, aux points ordinaires, et sont analytiques, ce qui autorise la représentation en série de puissances.

Théorème. Supposons que $P_0, \ P_1,$ et P_2 sont des polynômes sans facteur commun et que P_0(x)!=0 . Si x_0 est un point ordinaire de l’équation de la section 5.2.1, de sorte que chaque solution de l’équation peut être représentée par une série de puissances.

$y(x)=somme_(n=0)^oo\ a_n(x-x_0)^n$ (5.2.2)

En outre, le rayon de convergence d’une telle solution en série de puissances est au moins aussi grand que la distance entre x_0 et le point singulier (réel ou complexe) le plus proche de l’équation. Si P_0 est constant, c’est-à-dire jamais nul, le rayon de convergence sera infini et l’intervalle de convergence sera (-oo,+oo) .

Pour trouver la solution en série de l’équation de la section 5.2.1, on considère une série de puissances convergeant près d’un point ordinaire x_0 . En supposant que la solution peut être écrite sous forme de série de puissances (section 5.2.2), on remplace et ses dérivées dans l’équation différentielle donnée et on rassemble les puissances similaires de x-x_0 . En fixant le coefficient de chaque puissance à zéro, on peut systématiquement trouver la valeur des coefficients a_n , ce qui donne souvent une relation récursive.

Comment trouver une solution en série à une équation différentielle

1. Déterminer l’équation différentielle et choisir le point x_0 autour duquel développer la série (généralement un point ordinaire).

2. Supposer une solution en série de puissances (équation de la section 5.2.2) pour et trouver ses dérivées , y'' , etc., comme l’exige l’équation différentielle.

3. Remplacer la série et ses dérivées dans l’équation différentielle.

4. Organiser les puissances similaires x-x_0 en alignant les termes, de façon à ce que toutes les séries soient exprimées à partir de la même valeur de départ de .

5. Regrouper les coefficients des puissances similaires de x-x_0 .

6. Résoudre les équations en mettant en équation les coefficients de puissances similaires de x-x_0 pour trouver des relations entre les a_n ‘s.

7. Utiliser les conditions initiales ou limites données pour trouver des a_n spécifiques. Utiliser la relation récursive pour déterminer tous les coefficients.

8. Construire la solution avec les coefficients trouvés et examiner le rayon et l’intervalle de convergence.

Exemple 5.2.1 : Trouver une solution en série à une équation à coefficients constants

Déterminer une solution en série à l’équation différentielle

y''+y=0

Afficher/Masquer la solution

1. Étant donné que P_1(x)=1 , les coefficients sont analytiques en tout point. On suppose que x_0=0 et que la solution peut être écrite sous forme de série de puissances.

$y=somme_(n=0)^oo\ a_nx^n$

2. Il faut d’abord trouver y'' :

$y'=d/dxsomme_(n=0)^oo\ a_nx^n$ $=somme_(n=1)^oo\ n a_n x^(n-1)$

$y''=d/dxsomme_(n=1)^oo\ n a_nx^(n-1)$ $=somme_(n=2)^oo\ n(n-1) a_n x^(n-2)$

3. Ensuite, on remplace et y'' dans l’équation :

y''+y=0

$somme_(n=2)^oo\ n(n-1) a_n x^(n-2)$ $+somme_(n=0)^oo\ a_nx^n=0$

4. L’étape suivante consiste à aligner les termes. Pour ce faire, il faut déplacer les indices de sommation de façon à ce qu’ils commencent à la même valeur. Si k=n-2 ou n=k+2 dans la première sommation et n=k dans la deuxième sommation, on a

$somme_(k=0)^oo\ (k+2)(k+1) a_(k+2) x^(k)$ $+somme_(k=0)^oo\ a_kx^k=0$

5. En additionnant les séries, on obtient

$somme_(k=0)^oo\ [(k+2)(k+1) a_(k+2)+a_k] x^(k) =0$

6. D’après la propriété des séries de puissances disparaissant sur un intervalle vue à la section 5.1, on sait que si une série de puissances est nulle , alors tous ses coefficients doivent être nuls. On en conclut donc que

(k+2)(k+1) a_(k+2)+a_k=0

ou

a_(k+2)=(-a_k)/((k+2)(k+1) ),

C’est ce que l’on appelle la relation de récurrence pour les valeurs de pour lesquelles la relation est vraie.

7. Ensuite, on écrit quelques termes de la série pour voir si l’on peut déterminer la tendance et, avec un peu de chance, la formule explicite de la série. Quand k=0,1,2,...,5 , on a

On remarque que le terme avec des indices pairs peut être écrit par rapport au terme précédent et même en termes de a_0 et qu’il en va de même avec les indices impairs en termes de a_1 . Par conséquent, en écrivant la relation de récurrence séparément pour les indices ( k=2m+1 ) impairs et les indices ( k=2m ) pairs, on obtient

a_(2m)=((-1)^ma_0)/((2m)!

a_(2m+1)=((-1)^ma_1)/((2m+1)!

8. La solution générale de l’équation peut donc être écrite sous la forme

$y=somme_(n=0)^oo\ a_nx^n$

$=somme_(m=0)^oo\ a_(2m)x^(2m)$ $+somme_(m=0)^oo\ a_(2m+1)x^(2m+1)$

$=a_0somme_(m=0)^oo\ (-1)^m x^(2m) /((2m)!$ $+a_1somme_(m=0)^oo\ (-1)^mx^(2m+1) /((2m+1)!$

On constate que les séries dans la solution sont les séries de Maclaurin de cos(x) et de sin(x) , respectivement.

$cos(x)=somme_(m=0)^oo\ (-1)^m x^(2m) /((2m)!$ et $sin(x)=somme_(m=0)^oo\ (-1)^mx^(2m+1) /((2m+1)!$

Par conséquent, la solution générale de l’équation peut être exprimée sous la forme

y=a_0cos(x)+a_1sin(x)

pour des constantes arbitraires a_0 et a_1 . Cette solution est identique à celle que nous obtiendrions avec les méthodes abordées aux sections précédentes.

L’intervalle de convergence pour les séries de cosinus et de sinus est constitué de tous les nombres réels (-oo,oo) .

Pour les deux séries de la solution, le test de ratio indique que, à mesure que , la limite approche de zéro, ce qui signifie que la série converge pour tous les nombres réels. Partant, sans connaissance préalable des séries représentant le sinus et le cosinus, on conclurait que l’intervalle de convergence pour chaque série et donc la solution de séries combinées est un nombre réel entier (-oo,oo) .

Prenons un exemple

Dans la pratique, nous essayons de trouver des solutions en série pour des équations à coefficients non constants. En effet, les équations à coefficients constants peuvent être facilement résolues à l’aide de la technique décrite au chapitre 3 pour les équations homogènes à coefficients constants. Prenons un autre exemple pour une équation à coefficients non constants.

Exemple 5.2.2 : Trouver une solution en série à une équation à coefficients variables

Trouver une solution en série à l’équation différentielle

(1+x^2)y''+2xy'-2y=0

Afficher/Masquer la solution

1. On note que P_1(x)=1+x^2 n’a pas de racine, de sorte que chaque point dans cette équation constitue un point ordinaire. On suppose que la solution peut être écrite sous forme de série de puissances.

$y=somme_(n=0)^oo\ a_nx^n$

2. Ensuite, on trouve et y'' :

$y'=d/dxsomme_(n=0)^oo\ a_nx^n$ $=somme_(n=1)^oo\ n a_n x^(n-1)$

$y''=d/dxsomme_(n=1)^oo\ n a_nx^(n-1)$ $=somme_(n=2)^oo\ n(n-1) a_n x^(n-2)$

3. On remplace maintenant $y,\ y',$ et y'' dans l’équation :

$(1+x^2)somme_(n=2)^oo\ n(n-1) a_n x^(n-2)$ $+2xsomme_(n=1)^oo\ n a_n x^(n-1)$ $-2somme_(n=0)^oo\ a_nx^n=0$

En multipliant les coefficients par la série, on obtient

$somme_(n=2)^oo\ n(n-1) a_n x^(n-2)$ $+somme_(n=2)^oo\ n(n-1) a_n x^n$ $+2somme_(n=1)^oo\ n a_n x^n$ $-2somme_(n=0)^oo\ a_nx^n=0$

4. On observe que l’exposant de est le même dans toutes les séries sauf la première. Il suffit donc de décaler l’indice des premières sommations de 2 :

$somme_(n=0)^oo\ (n+2)(n+1) a_(n+2) x^n$ $+somme_(n=2)^oo\ n(n-1) a_n x^n$ $+2somme_(n=1)^oo\ n a_n x^n$ $-2somme_(n=0)^oo\ a_nx^n=0$

On remarque maintenant que la deuxième série est nulle à n=0,1 . L’indice peut donc commencer à n=0 . Pareillement, la troisième série est nulle à n=0 , de sorte qu’elle peut aussi commencer à n=0 . On réécrit donc les indices pour obtenir

$somme_(n=0)^oo\ (n+2)(n+1) a_(n+2) x^n$ $+somme_(n=0)^oo\ n(n-1) a_n x^n$ $+2somme_(n=0)^oo\ n a_n x^n$ $-2somme_(n=0)^oo\ a_nx^n=0$

5. En combinant les séries, on obtient

$somme_(n=0)^oo\ [(n+2)(n+1) a_(n+2)+(n(n-1)+2n-2)a_n] x^n=0$

$somme_(n=0)^oo\ [(n+2)(n+1) a_(n+2)+(n^2+n-2)a_n] x^n=0$

6. En définissant un coefficient nul, on obtient

(n+2)(n+1) a_(n+2)+(n^2+n-2) a_n=0

a_(n+2)=-(n^2+n-2) /((n+2)(n+1) )a_n

=-((n+2)(n-1)) /((n+2)(n+1) )a_n

7. La relation récursive peut donc être simplifiée en

a_(n+2)=-(n-1) /(n+1)a_n

Avec n=0,1,2,...,5 , on obtient



>

On remarque que tous les termes à indices impairs sont nuls sauf a_1 . Par conséquent, en écrivant la relation de récurrence séparément pour les indices ( n=2m+1 ) impairs et les indices ( n=2m ) pairs, on obtient

a_(2m)=(-1)^(m+1)1/(2m-1)a_0

a_(2m+1)=a_1 $,\ m=0$

8. La solution générale de l’équation peut donc être écrite sous la forme

$y=somme_(n=0)^oo\ a_nx^n$

$=a_0+a_1x^(2(0)+1) +somme_(m=1)^oo\ a_(2m)x^(2m)$

$=a_0+a_1x +a_0somme_(m=1)^oo\(-1)^(m+1)x^(2m)/(2m-1)$

Example 5.2.3 : Trouver une solution en série à une équation à coefficients variables

Trouver les six premiers termes dans la solution en série du problème de valeur initiale

(1+x^2)y''+2xy'-2y=0, $y(0)=2,\ y'(0)=3$

Afficher/Masquer la solution

L’exemple de la section 5.2.2 a donné la solution en série de puissances de cette équation différentielle.

$=a_0+a_1x +a_0somme_(m=1)^oo\(-1)^(m+1)x^(2m)/(2m-1)$

Pour appliquer les conditions initiales, on reconnaît d’abord que a_0=y(0)=2 et a_1=y'(0)=3 . Ensuite, on remplace a_0 et a_1 dans la solution générale afin de calculer les autres termes.

a_0=2

a_1=3

a_2= a_0[(-1)^(1+1)x^(2(1))/(2(1)-1)]

a_3=0

a_4=a_0[(-1)^(2+1)x^(2(2))/(2(2)-1)]

a_5=0

a_6=a_0[(-1)^(3+1)x^(2(3))/(2(3)-1)]

a_7=0

a_8=a_0[(-1)^(4+1)x^(2(4))/(2(4)-1)]

La solution du problème de valeur initiale est donc

y(x)=2+3x+2x^2-2/3x^4+2/5x^6-2/7x^8+... .

Prenons un exemple

Section 5.2 Exercices

Trouve les six premiers termes dans la solution en série du problème de valeur initiale
$y(0)=3,\ y'(0)=2$

Afficher/Masquer la réponse
Trouve les six premiers termes dans la solution en série du problème de valeur initiale
$y(0)=4,\ y'(0)=3$

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Trouve les six premiers termes dans la solution en série du problème de valeur initiale
$y(0)=1,\ y'(0)=2$

Afficher/Masquer la réponse

5.2 Solutions en séries de puissances d’équations différentielles

Solutions en séries de puissances d’équations différentielles linéaires

Comment trouver une solution en série à une équation différentielle

Section 5.2 Exercices

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