3.6 Méthode de réduction d’ordre

AMIR TAVANGAR

3.6 Méthode de réduction d’ordre

La méthode de réduction d’ordre est une technique permettant de trouver une deuxième solution à une équation différentielle linéaire du second ordre lorsqu’une solution est déjà connue. Elle est utile aussi bien pour les équations homogènes que pour les solutions non homogènes.

En général, pour appliquer la méthode de réduction d’ordre pour l’équation non homogène

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

on suppose que la deuxième solution y_2 prend la forme y_2 = uy_1 , où est une fonction de la variable indépendante. En remplaçant y_2 et ses dérivées dans l’équation et en simplifiant, on obtient une équation du premier ordre en termes de :

p_1(x)u'' + q_1(x)u' = f(x)

Il est alors possible de résoudre cette équation différentielle du premier ordre à l’aide de techniques standard, de l’intégrer pour trouver , puis de déterminer y_2 = uy_1 .

Méthode de réduction d’ordre pour des équations homogènes

En partant d’une équation homogène avec une solution connue y_1(x) , trouver une deuxième solution linéairement indépendante y_2(x) en procédant comme suit :

1. Standardiser l’équation : diviser l’équation par le coefficient de y'' pour que le coefficient soit égal à un. L’équation doit présenter le format suivant :

y''+p(x)y'+q(x)y=0

2. Déterminer : identifier la fonction p(x) , le coefficient de et évaluer l’intégrale :

mu(x)=e^(-int p(x)dx)

3. Trouver la deuxième solution : évaluer l’intégrale suivante pour trouver la deuxième solution : Pour plus de simplicité, disons que la constante d’intégration est nulle.

$y_2= y_1 int (mu(x))/((y_1)^2) \ dx$

4. Formuler la solution générale : la solution générale est la combinaison linéaire des deux solutions :

y(x)=c_1y_1+c_2y_2

Il convient de noter que la constante c_2 peut absorber n’importe quel coefficient numérique de y_2.

Exemple 3.6.1 : Réduction d’ordre pour une équation homogène

Sachant que y_1(x) = e^(2 x) est une solution à l’équation donnée, utilise la méthode de réduction d’ordre pour trouver une deuxième solution.

$x y''-(4x+4)y'+(4x+8)y = 0, \quad x gt 0$

Afficher/Masquer la solution

1. Tout d’abord, standardiser l’équation en la divisant par le coefficient de y'' :

y''-(4x+4)/xy'+(4x+8)/xy = 0

2. Identifier p(x) , le coefficient de la fonction de , puis trouver mu(x) .

mu(x)=e^(-int p(x)dx)=e^(4int (x+1)/xdx) =e^(4x+4ln(x))=x^4e^(4x)

3. La deuxième solution est donnée par

y_2= y_1 int (mu(x))/((y_1)^2) dx

y_2= e^(2x) int (x^4e^(4x))/((e^(2x))^2) dx

=e^(2x) int x^4 dx

=1/5x^5e^(2x)+C

Comme nous recherchons la solution y_2 la plus simple, nous définissons une constante d’intégration de zéro. Comme n’importe quel multiple scalaire de y_2 est aussi une solution, on peut choisir y_2=x^5e^(2x) comme étant la deuxième solution la plus simple.

Prenons un exemple

Bien que principalement détaillés pour les équations homogènes, les principes de cette méthode s’appliquent aux situations non homogènes en résolvant d’abord l’équation homogène associée et en trouvant ensuite une solution particulière au moyen des méthodes standard expliquées pour les équations non homogènes.

Exemple 3.6.2 : Réduction d’ordre pour une équation non homogène; PVI

Sachant que y_1(x) = x est une solution à l’équation complémentaire, résous le problème de valeur initiale suivant.

$x^2 y''+xy'-y = x^2+1, \quad \ y(1)=2,\ y'(1)=-3$

Afficher/Masquer la solution

a. Trouver la deuxième solution de l’équation complémentaire :

Il faut suivre les étapes de la méthode de réduction d’ordre pour trouver la deuxième solution linéairement indépendante à l’équation complémentaire.

1a. Tout d’abord, standardiser l’équation en la divisant par le coefficient de y'' :

y''+x^-1y'-x^-2y = 0

2a. Identifier p(x) , le coefficient de la fonction de , puis trouver mu(x) .

mu(x)=e^(-int p(x)dx)=e^(-int x^-1dx) =e^(ln(x))=x^-1

3a. La deuxième solution est donnée par

y_2= y_1 int (mu(x))/((y_1)^2) dx

y_2= x int (x^-1)/(x^2) dx

=x int x^-3 dx

=-1/2x^-1+cancel(C)^0

4a. La solution générale de l’équation complémentaire est

y_c=c_1y_1+c_2y_2

=c_1x+c_2(-1/2x^-1)

La constante c_2 peut absorber n’importe quel coefficient numérique de y_2. Ainsi, y_c peut être simplifié en

y_c=c_1x+c_2x^-1

b. Trouver une solution particulière à l’équation non homogène :

Il faut utiliser la méthode de variation des paramètres pour trouver la solution particulière y_p .

1b. Standardiser l’équation différentielle d’origine.

y''+x^-1y'-x^-2y = x^-2(x^2+1)

2b. Les solutions de l’équation homogène sont maintenant connues : y_1=x et y_2=x^-1 .

Le wronskien de l’ensemble fondamental est

W(y_1,y_2) = |(y_1,y_2),(y_1',y_2')|

W (x)= |(x,x^-1 ),(1,-x^-2) |

=-2x^-1

3b. Remplacer ensuite y_1=x , y_2=x^-1 , f(x)=x^-2(x^2+1) et W(y_1,y_2)=-2x^-1 dans des formules pour u_1 et u_2 afin de les déterminer.

Trouver :

u_1=int (-f(x) y_2)/(W(y_1,y_2)) dx

u_1=int (-x^-2(x^2+1) x^-1)/(-2x^-1) dx

=1/2intx^-2(x^2+1)dx

=1/2int(1+x^-2)dx

=1/2(x-1/x)

Trouver :

u_2=int (f(x) y_1)/(W(y_1,y_2)) dx

u_2=int (x^-2(x^2+1) x)/(-2x^-1) dx

=-1/2int(x^2+1)dx

=-1/2(x^3/3+x)

4b. Remplacer u_1 et u_2 par ${y_1,y_2}$ dans l’expression de y_p de façon à obtenir une solution particulière :

y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

y_p=1/2(x-1/x) x-1/2(x^3/3+x) x^-1

=1/3x^2-1

c. Trouver la solution générale

La solution générale de l’équation non homogène est la somme de la solution particulière et de la solution complémentaire.

y=y_p+y_c

y(x)=1/3x^2-1+c_1x+c_2x^-1

d. Appliquer les conditions initiales

Appliquer la condition initiale à :

y(1)=2

1/3(1^2)-1+c_1(1)+c_2(1^-1)=2

1/3-1+c_1+c_2=2

c_1+c_2=8/3

Appliquer la condition initiale à :

y'(x)=2/3x+c_1-c_2x^-2

y'(1)=-3

2/3(1)+c_1-c_2(1^-2) =-3

c_1-c_2=-11/3

Pour déterminer c_1 et c_2 , il faut résoudre le système suivant de deux équations et deux inconnues :

${(c_1+c_2=8/3),(c_1-c_2=-11/3 ):}$

La résolution du système donne

c_1=-1/2, c_2=19/6

La solution du problème de valeur initiale est donc

y(x)=1/3x^2-1-1/2x+19/6x^-1

Prenons un exemple

Section 3.6 Exercices

Sachant que est une solution à l’équation donnée, utilise la méthode de réduction d’ordre pour trouver une deuxième solution.
$x y''-(8x+1)y'+(16x+4)y = 0, \quad x gt 0$

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Trouver la solution générale de l’équation suivante, sachant que satisfait l’équation complémentaire.

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Résous le problème de valeur initiale, sachant que satisfait l’équation complémentaire.
$x^2y''-3xy'+4y = 4x^4 , \ y(-1) = 3 , \ y'(-1) = -3$

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3.6 Méthode de réduction d’ordre

Méthode de réduction d’ordre pour des équations homogènes

Section 3.6 Exercices

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