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3.5 Méthode de variation des paramètres

A. Introduction

La méthode de variation des paramètres est une autre technique permettant de trouver des solutions particulières à des équations différentielles linéaires non homogènes. Elle est particulièrement utile pour les équations à coefficients constants et variables et s’applique lorsque la fonction de forçage, f(x), rend la méthode des coefficients indéterminés impraticable. Cette technique s’applique également aux équations d’ordre supérieur.

Contrairement à la méthode des coefficients indéterminés, où la solution complémentaire permet de deviner la forme de la solution particulière, la variation des paramètres a besoin de la solution complémentaire pour déterminer la solution particulière.

B. Variation des paramètres : équations à coefficients constants

Nous nous concentrons d’abord sur l’application de la méthode de variation des paramètres aux équations non homogènes à coefficients constants. Considérons l’équation linéaire non homogène du second ordre

 a y'' + by' + cy = f(x) (3.5.1)

Soit {y_1,y_2} un ensemble fondamental de solutions à l’équation complémentaire (homogène) associée. La solution générale de l’équation complémentaire est y=c_1y_1+c_2y_2. Pour trouver une solution particulière, y_p, grâce à la méthode de variation des paramètres, on remplace les constantes c_1 et c_2 par les fonctions u_1(x) et u_2(x), respectivement, soit

 y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

Le but est de remplacer  y_p et ses dérivées dans l’équation 3.5.1 afin de déterminer des fonctions u_1 et u_2. La dérivée première de y_p est

 y_p' = u_1 y_1' + u_1' y_1 + u_2 y_2'+ u_2'y_2

Comme nous avons plus de paramètres que d’équations, on décide que u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0 (i) pour simplifier les calculs. Par conséquent, y'_p est simplifié comme suit :

 y'_p= u_1 y_1' + u_2 y_2'

Il faut ensuite trouver y_p''.

 y_p'' = u_1' y_1' +u_1y_1''+u_2' y_2'+u_2y_2''

Après avoir remplacé y_p et ses dérivées dans l’équation 3.5.1 et rassemblé les termes, on obtient

 u_1 underbrace((ay_1''+by_1'+cy_1))_(=0) + u_2 underbrace((ay_2''+by_2'+cy_2 ))_(=0) + a(u_1'y_1'+ u'_2y_2') = f(x)

Les expressions multipliées par u_1 et u_2 sont nulles, puisque y_1 et y_2 sont des solutions de l’équation complémentaire, d’où

 u_1'y_1'+ u_2'y_2' = (f(x))/a    (ii).

En combinant (i) et (ii), on obtient un système d’équations

 {(u_1' y_1 + u_2'y_2 = 0 ),(u_1'y_1'+ u_2'y_2' = (f(x))/a ):}

En résolvant le système pour u_1'et u_2', puis en les intégrant, on obtient les solutions pour u_1 et u_2.

 u_1' = (-f(x) y_2)/(a(y_1 y_2'- y_1' y_2))  et  u_2'= (f(x) y_1)/(a(y_1 y_2' - y_1' y_2))

Notez que le terme entre parenthèses est le dénominateur dans le wronskien (W). Par conséquent, u_1' et u_2' peuvent également s’écrire sous la forme

 u_1'= (-f(x) y_2)/(a W(y_1,y_2))  et  u_2' = (f(x) y_1)/(a W(y_1,y_2))

 

Méthode de variation des paramètres pour des équations à coefficients constants

Pour trouver une solution particulière à l’équation 3.5.1,

1. Trouver une solution à l’équation homogène : déterminer un ensemble fondamental de solutions {y_1,y_2} à l’équation homogène correspondante et trouver le wronskien des solutions.

2. Déterminer u_1 et u_2: calculer u_1' et u_2' en utilisant le système dérivé de la variation des paramètres. Les intégrer ensuite pour trouver u_1 et u_2, en prenant une constante d’intégration de zéro :

 u_1=int (-f(x) y_2)/(a W(y_1,y_2)) dx    et    u_2=int (f(x) y_1)/(a W(y_1,y_2)) dx

3. Élaborer la solution particulière : combiner u_1, u_2, y_1, et y_2 pour former la solution particulière :

 y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

 

Exemple 3.5.1 : Trouver une solution particulière à une équation à coefficients constants

Trouver une solution particulière à

 y''+6y'+9y=e^(-3x)arctan(x)

Afficher/Masquer la solution

 

Pour trouver une solution particulière avec la méthode de variation des paramètres, il faut d’abord trouver une solution à l’équation homogène associée.

1. La caractéristique polynomiale de l’équation complémentaire y''+6y'+9y=0 est

 r^2+6r+9=0

 (r+3)^2=0

La solution est donc une racine répétée r=-3. Partant, y_1=e^(-3x) et y_2=xe^(-3x) forment un ensemble fondamental de solutions.

Le wronskien de l’ensemble fondamental est

 W(y_1,y_2) = |(y_1,y_2),(y_1',y_2')|

 W (x)= |(e^(-3x),xe^(-3x) ),(-3e^(-3x),e^(-3x)(1-3x )) |

 =e^(-6x)(1-3x)+3xe^(-6x)

 =e^(-6x)

2. Ensuite, il faut remplacer y_1=e^(-3x) , y_2=xe^(-3x), f(x)=e^(-3x)arctan(x) et W(y_1,y_2)=e^(-6x) dans des formules pour u_1 et  u_2 afin de les déterminer.

Trouver u_1 :

 u_1=int (-f(x) y_2)/(a W(y_1,y_2)) dx

 =int (-e^(-3x)arctan(x) (xe^(-3x)))/(e^(-6x)) dx

 =-int xarctan(x) dx

Cette intégrale peut être évaluée au moyen de la technique d’intégration par parties.

 =-1/2x^2arctan(x)+1/2int(x^2)/(1+x^2)dx

 =-1/2x^2arctan(x) +1/2(x-arctan(x))+C

Trouver u_2 :

 u_2=int (f(x) y_1)/(a W(y_1,y_2)) dx

 =int (e^(-3x)arctan(x) (e^(-3x)))/(e^(-6x)) dx

 =int arctan(x) dx

Cette intégrale peut être évaluée au moyen de la technique d’intégration par parties.

 =xarctan(x)-intx/(1+x^2)dx

 =xarctan(x) -1/2ln(1+x^2)+C

Comme il ne nous faut qu’une solution particulière, nous définissions une constante nulle pour les intégrations dans u_1 et u_2 par souci de simplicité.

3. Il faut maintenant remplacer u_1 et u_2 par {y_1,y_2} dans l’expression de y_p pour obtenir une solution particulière :

 y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

 =(-1/2x^2arctan(x) +1/2(x-arctan(x)) )e^(-3x)+ (xarctan(x) -1/2ln(1+x^2))xe^(-3x)

 y_p=1/2e^(-3x)(x^2arctan(x)+x-arctan(x)-xln(1+x^2))

 

Prenons un exemple

 

 

Exemple 3.5.2 : Trouver une solution générale à une équation à coefficients constants

Trouver (a) une solution particulière, puis (b) une solution générale à

y''+3y'+2y=1/(1+e^x)

Afficher/Masquer la solution

 

a) Pour trouver une solution générale, il faut d’abord trouver une solution particulière. Pour trouver une solution particulière avec la méthode de variation des paramètres, il faut d’abord trouver un ensemble fondamental de solutions à l’équation homogène associée :

1. La caractéristique polynomiale de l’équation complémentaire y''+3y'+2y=0 est

r^2+3r+2=0

(r+1)(r+2)=0

Les solutions sont donc r_1=-1 et r_2=-2 et y_1=e^(-x) et y_2=e^(-2x) constituent un ensemble fondamental de solutions.

2. Il faut ensuite trouver u_1 et  u_2 en remplaçant y_1=e^(-x) , y_2=e^(-2x) , f(x)=1/(e^x+1) et W(y_1,y_2)=-e^(-3x) dans

 u_1=int (-f(x) y_2)/(a W(y_1,y_2)) dx

 =int (-1//(e^x+1) e^(-2x))/(-e^(-3x)) dx =int e^x/(1+e^x) dx =ln(1+e^x)+C

et

 u_2=int (f(x) y_1)/(a W(y_1,y_2)) dx

 =int (1//(e^x+1) e^(-x))/(-e^(-3x)) dx =int e^(2x)/(1+e^x) dx =ln(1+e^x)-e^x+C

Comme nous n’avons besoin que d’une seule solution particulière, nous définissons les deux constantes sur zéro à des fins de simplicité.

3. Il faut maintenant remplacer u_1 et u_2 par {y_1,y_2} dans l’expression de y_p pour obtenir une solution particulière :

 y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

 =ln(1+e^x)e^(-x)+(ln(1+e^x)-e^x )e^(-2x)

 =(e^(-x)+e^(-2x))ln(1+e^x)-e^(-x)

b) Pour trouver une solution générale, il faut ajouter la solution générale à l’équation homogène et à une solution particulière :

y(x)=c_1y_1+c_2y_2+y_p

 =c_1e^(-x)+c_2e^(-2x)+ (e^(-x)+e^(-2x))ln(1+e^x)-e^(-x)

  On remarque que les termes c_1e^(-x) et -e^(-x) sont analogues et peuvent être combinés en (c_1-1)e^(-x). Puisque c_1-1=c_3, on obtient

 y(x)=c_3e^(-x)+c_2e^(-2x) +(e^(-x)+e^(-2x))ln(1+e^x)

 

Prenons un exemple

 

 

Prenons un exemple

 

C. Variation des paramètres : équations à coefficients variables

Maintenant que nous savons résoudre des équations différentielles homogènes et non homogènes du second ordre à coefficients constants, passons aux équations dont les coefficients sont des fonctions de la variable indépendante. La méthode de variation des paramètres convient tout à fait à ces équations.

Considérations relatives aux équations à coefficients variables

Pour une équation différentielle de la forme

 a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)

des solutions sont attendues sur un intervalle ouvert où les quatre fonctions directrices, a_2(x), \ a_1(x),\ a_0(x) et g(x), sont continues et où a_2(x) n’est pas nul. En standardisant l’équation en la divisant par a_2(x), on obtient

 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

Théorème d’existence et d’unicité des solutions : si p(x) , q(x) et f(x) sont continus sur un intervalle (a,b) contenant un point x_0, pour n’importe quelles valeurs initiales Y_0 et Y_1, il existe une solution unique y(x) sur le même intervalle que le problème de valeur initiale.

 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \ \ \ \ \ y(x_0)=Y_0, \ y'(x_o)=Y_1

Les étapes méthodologiques pour les équations à coefficients variables sont identiques à celles des équations à coefficients constants, à ceci près que l’équation doit être sous forme standard.

 

Méthode de variation des paramètres pour des équations à coefficients variables

1. Standardiser l’équation : diviser l’équation par le coefficient de y'' pour que le coefficient soit égal à un. L’équation doit présenter le format suivant :

 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

2. Solutions indépendantes linéaires : trouver deux solutions indépendantes linéaires, {y_1,y_2} à l’équation homogène correspondante. trouver le wronskien des solutions.

3. Déterminer u_1 et u_2 : calculer u'_1 et u'_2 en utilisant le système dérivé de la variation des paramètres. Les intégrer ensuite pour trouver u_1 et u_2, en prenant une constante d’intégration de zéro :

 u_1=int (-f(x) y_2)/(W(y_1,y_2)) dx    et    u_2=int (f(x) y_1)/(W(y_1,y_2)) dx

4. Élaborer la solution particulière : combiner u_1, u_2, y_1, et y_2 pour former la solution particulière :

 y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

 

Exemple 3.5.3 : Trouver une solution particulière à une équation à coefficients variables

Trouver une solution particulière à l’équation différentielle suivante, sachant que y_1(x) = x^2 et y_2(x) = x^-1 satisfont l’équation homogène correspondante.

 x^2 y'' - 2 y = x+3 x^3, \ \(xgt0)

Afficher/Masquer la solution

 

1. Diviser d’abord l’équation par le coefficient de y'' pour lui donner une forme standard.

 y'' - 2x^-2 y = x^-1(1+3 x^2), \ \(xgt0) 

2. Pour trouver une solution particulière avec la méthode de variation des paramètres, il faut un ensemble fondamental de solutions à l’équation homogène associée. Les solutions données y_1 et y_2 formeront l’ensemble fondamental si leur wronskien n’est pas nul sur un intervalle ouvert.

Le wronskien de l’ensemble de solutions est

 W(y_1,y_2) = |(y_1,y_2),(y_1',y_2')|

 W (x)= |(x^2,x^-1 ),(2x,-x^-2) |

 =-3

Le wronskien n’est jamais nul. Partant, l’ensemble de solutions est l’ensemble fondamental de solutions.

3. Il faut ensuite remplacer y_1=x^2 , y_2=x^-1, f(x)=x^-1(1+3x^2) et W(y_1,y_2)=-3 dans des formules pour u_1 et  u_2 afin de les déterminer.

Trouver u_1 :

 u_1=int (-f(x) y_2)/( W(y_1,y_2)) dx

 =int (-x^-1(1+3x^2) x^-1)/-3 dx

 =1/3int (x^-2+3) dx

 =1/3(-x^-1+3x)+C

Avec C=0, on obtient

 u_1=-1/3x^-1+x

Trouver u_2 :

 u_2=int (f(x) y_1)/(W(y_1,y_2)) dx

 =int (x^-1(1+3x^2) x^2)/-3 dx

 =-1/3int (x+3x^3) dx

 =-1/3(1/2x^2+3/4x^4)+C

Avec C=0, on obtient

 u_2=-1/6x^2-1/4x^4

4. Remplacer u_1 et u_2 par {y_1,y_2} dans l’expression de y_p de façon à obtenir une solution particulière :

 y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

 y_p=(-1/3x^-1+x)x^2+(-1/6x^2-1/4x^4 )x^-1

 =-1/2x+3/4x^3

 

Prenons un exemple

 

D. Résumé

  • Utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour des équations à coefficients constants avec des fonctions de forçage reconnaissables f(x).
  • Utiliser la méthode de variation des paramètres pour des équations à coefficients constants avec une fonction f(x) moins typique ou pour des équations à coefficients variables.
  • En général, si un ensemble fondamental de solutions est connu, la variation des paramètres constitue une méthode viable et souvent préférable.

Section 3.5 Exercices

  1. Trouve une solution particulière à l’équation

     y''-8y'+16y = 4 e^(4x)lnx

    Afficher/Masquer la réponse

    y_p(x)=2x^2 e^(4x)ln(x)-3x^2 e^(4x)

  2. Trouve la solution particulière à l’équation

     y''+y = sec(x)

    Afficher/Masquer la réponse

     y_p(x)=cos(x)ln|cos(x)|+xsin(x)

    • Trouver une solution particulière à l’équation différentielle suivante, sachant que y_1(x) = x^2 et y_2(x) = x^-1 satisfont l’équation homogène correspondante.

       x^2 y'' - 2 y = 3x-2 x^4, \ \(xgt0)

      Afficher/Masquer la réponse

      y_p(x)=-3/2x-1/5x^4

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Équations différentielles© par AMIR TAVANGAR. Tous droits réservés.

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