3.2 Équations différentielles homogènes à coefficients constants

AMIR TAVANGAR

3.2 Équations différentielles homogènes à coefficients constants

Considérons en premier lieu l’équation homogène à coefficients constants :

a y'' + by' + cy = 0 (3.2.1)

Pour résoudre cette équation, il; faut admettre que la solution doit avoir pour propriété que sa dérivée seconde peut être exprimée comme une combinaison linéaire de la dérivée première et de la fonction elle-même, ce qui suggère que la forme de la solution est y=e^(rx) . En remplaçant et ses dérivées dans l’équation 3.2.1, on obtient

e^(rx)(ar^2+br+c)=0

Comme e^(rx) n’est jamais nul pour n’importe quel nombre réel , on peut conclure que

ar^2+br+c=0 (3.2.2)

L’équation 3.2.2 est appelée l’équation auxiliaire ou l’équation caractéristique (polynôme caractéristique) de l’équation homogène 3.2.1. Pour déterminer la solution générale de l’équation 3.2.1, il faut trouver la valeur de dans l’équation caractéristique.

Les racines de l’équation caractéristique déterminent la nature de la solution, ce qui conduit à trois cas possibles selon que les racines sont réelles et distinctes, réelles et répétées ou complexes conjuguées.

Solution générale de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Cas n° 1 : deux racines réelles distinctes

Si l’équation caractéristique (équation 3.2.2) a deux racines réelles r_1 et r_2 , alors les solutions sont y_1=e^(r_1x) et y_2=e^(r_2x) . La solution générale est la combinaison linéaire de ces deux solutions :

y=c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)

Cas n° 2 : racine répétée

Si l’équation caractéristique a une racine répétée , alors les solutions sont y_1=e^(rx) et y_2=xe^(rx) . La solution générale est la combinaison linéaire de ces deux solutions :

y=c_1 e^(r x) + c_2 xe^(r x)

Cas n° 3 : racines complexes conjuguées

Si l’équation caractéristique a des racines complexes conjuguées sous la forme r=alpha +-ibeta , alors les solutions peuvent être représentées par la formule d’Euler sous la forme y_1,y_2=e^(alphax)(cos(betax)+-i sin (betax)) . La solution générale à valeur réelle dérivée de ces solutions complexes est

y=e^(alphax)(c_1cos(betax)+c_2sin (betax))

Sous cette forme, e^(alpha x) représente la croissance ou la décroissance exponentielle, tandis que la combinaison de cosinus et de sinus représente le comportement oscillatoire dû à la partie complexe des racines.

Exemple 3.2.1 : Trouver la solution générale – Cas n° 1 (deux racines réelles)

Trouver la solution générale de l’équation différentielle

y'' + y' - 6y = 0

Afficher/Masquer la solution

L’équation auxiliaire est

r^2+r-6=0

L’équation peut être factorisée en

(r+3)(r-2)=0

Les racines sont r_1=-3 et r_2=2 . C’est le cas n° 1 car les racines sont réelles et distinctes. Partant, la solution générale est la combinaison linéaire de y_1=e^(-3x) et y_2=e^(2x) :

y(x)=c_1e^(-3x)+c_2e^(2x)

Exemple 3.2.2 : Trouver la solution du PVI – Cas n° 1 (deux racines réelles)

Résoudre le problème de valeur initiale (PVI) suivant.

y'' -8 y' +15y = 0, $y(0) = 9, \quad y'(0) = 35$

Afficher/Masquer la solution

Trouver la solution générale :

L’équation auxiliaire est

r^2-8r+15=0

L’équation peut être factorisée en

(r-5)(r-3)=0

Les racines sont r_1=5 et r_2=3 . C’est le cas n° 1 car les racines sont réelles et distinctes. Partant, la solution générale est la combinaison linéaire de y_1=e^(5x) et y_2=e^(3x) :

y(x)=c_1e^(5x)+c_2e^(3x)

Appliquer les conditions initiales :

Appliquer la condition initiale à :

y(0)=9

c_1e^(0)+c_2e^(0)=9

c_1+c_2=9

Appliquer la condition initiale à :

y'=5c_1e^(5x)+3c_2e^(3x)

y'(0) = 35

5c_1e^(0)+3c_2e^(0)=35

5c_1+3c_2=35

Pour déterminer c_1 et c_2 , il faut résoudre le système suivant de deux équations et deux inconnues :

${(c_1+c_2=9),(5c_1+3c_2=35 ):}$

La résolution du système donne

c_1=4, c_2=5

La solution du problème de valeur initiale est donc

y(x)=4e^(5x)+5e^(3x)

Prenons un exemple

Exemple 3.2.3 : Trouver la solution générale – Cas n° 2 (racines répétées)

Trouver la solution générale de l’équation différentielle

y'' - 8 y' +16y = 0

Afficher/Masquer la solution

L’équation auxiliaire est

r^2-8r+16=0

L’équation peut être factorisée en

(r-4)^2=0

L’équation a une racine répétée r=4 . Il s’agit du cas n° 2, la racine répétée. Partant, la solution générale est la combinaison linéaire de e^(4x) et xe^(4x) :

y(x)=c_1e^(4x)+c_2xe^(4x)

Exemple 3.2.4 : Trouver la solution du PVI – Cas n° 2 (racines répétées)

Résoudre le problème de valeur initiale (PVI) suivant.

y'' +10 y' + 25 y = 0, $y(0) = 4, \quad y'(0) = -25$

Afficher/Masquer la solution

Trouver la solution générale :

L’équation auxiliaire est

r^2+10r+25=0

L’équation peut être factorisée en

(r+5)^2=0

L’équation a une racine répétée r=-5 . Il s’agit du cas n° 2, la racine répétée. Partant, la solution générale est la combinaison linéaire de e^(-5x) et xe^(-5x) :

y(x)=c_1e^(-5x)+c_2xe^(-5x)

Appliquer les conditions initiales :

Appliquer la condition initiale à :

y(0)=4

c_1e^(0)+c_2(0)e^(0)=4

c_1=4

Appliquer la condition initiale à :

y'=-5c_1e^(-5x)+c_2(e^(-5x)-5xe^(-5x))

y'(0) = -25

-5c_1e^(0)+c_2(e^(0)-0)=-25

-5c_1+c_2=-25

En introduisant cela dans c_1=4 , on obtient c_2=-5 .

La solution du problème de valeur initiale est donc

y(x)=4e^(-5x)-5xe^(-5x)

Prenons un exemple

Exemple 3.2.5 : Trouver la solution générale – Cas n° 3 (racines complexes)

Trouver la solution générale de l’équation différentielle

y'' - 4y' + 13y = 0

Afficher/Masquer la solution

L’équation auxiliaire est

r^2-4r+13=0

Avec la formule quadratique, on obtient

r=(4+-sqrt(16-52))/2= (4+-sqrt(-36))/2=2+-3i

L’équation a des racines complexes conjuguées avec une partie réelle alpha=2 et une partie imaginaire beta=3 . Il s’agit du cas n° 3, la solution générale est donc

y(x)=e^(2x)(c_1 cos(3x)+c_2 sin(3x))

Exemple 3.2.6 : Trouver la solution du PVI – Cas n° 3 (racines complexes)

Résoudre le problème de valeur initiale (PVI) suivant.

y'' +2 y' + 26 y = 0, $y(0) = -3, \quad y'(0) = -7$

Afficher/Masquer la solution

Trouver la solution générale :

L’équation auxiliaire est

r^2+2r+26=0

Il est possible de trouver les racines sans faire usage de la formule quadratique vue dans l’exemple précédent, mais par la complétion du carré. Pour varier les plaisirs, nous allons cette fois utiliser la complétion du carré.

r^2+2r+1+25=0

r^2+2r+1=-25

(r+1)^2=-25

r+1=+-5i

r=-1+-5i

L’équation a des racines complexes conjuguées avec une partie réelle alpha=-1 et une partie imaginaire beta=5 . Il s’agit du cas n° 3, la solution générale est donc

y(x)=e^(-x)(c_1 cos(5x)+c_2 sin(5x))

Appliquer les conditions initiales :

Appliquer la condition initiale à :

y(0)=-3

e^(0)(c_1 cos(0)+c_2 sin(0))=-3

c_1=-3

Appliquer la condition initiale à :

y'(x)=-e^(-x)(c_1 cos(5x)+c_2 sin(5x))+ e^(-x)(-5c_1 sin(5x)+5c_2 cos(5x))

y'(0) = -7

-c_1+5c_2=-7

En introduisant cela dans c_1=-3 , on obtient c_2=-2 .

La solution du problème de valeur initiale est donc

y(x)=e^(-x)(-3 cos(5x)-2 sin(5x))

Prenons un exemple

Section 3.2 Exercices

Résous le problème de valeur initiale donné.
$y(0) = 4, \quad y'(0) = -8.5$

Afficher/Masquer la réponse
Résous le problème de valeur initiale donné.
$y(0) = -1, \quad y'(0) = 8$

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Résous le problème de valeur initiale donné.
$y(0) = 4, \quad y'(0) = -18$

Afficher/Masquer la réponse

3.2 Équations différentielles homogènes à coefficients constants

Section 3.2 Exercices

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