2.3 Équations différentielles exactes

AMIR TAVANGAR

2.3 Équations différentielles exactes

A. Introduction

Les équations différentielles exactes sont une catégorie d’équations différentielles du premier ordre qui peuvent être résolues avec une condition d’intégrabilité particulière. Cette section aborde les thèmes suivants : ce qui fait qu’une équation est exacte, comment vérifier cette condition et la méthodologie de résolution de ces équations.

Pour commencer, nous présentons un théorème fondamental, suivi d’un exemple illustrant son application. Ensuite, nous approfondissons le concept d’équations exactes et explorons une méthode pour les résoudre.

Théorème : si la fonction F(x,y) a des dérivées partielles continues F_x et F_y , alors l’équation F(x,y)=c est une solution implicite à l’équation différentielle F_x(x,y) dx + F_y(x,y) dy = 0 .

Ce théorème peut être prouvé en utilisant la différenciation implicite.

Exemple 2.3.1 : Trouver une solution à l’équation différentielle

Montrer que x^2 y^3+xy^3+3xy=c est une solution implicite à l’équation différentielle donnée.

(2x y^3+y^3+3y)dx+(3x^2 y^2+3xy^2+3x)dy=0

Afficher/Masquer la solution

Pour appliquer efficacement le théorème, il faut définir F(x,y) comme la fonction donnée dans la solution. Ensuite, il faut montrer que les termes multipliés par dx et dy sont, respectivement, les dérivées partielles F_x et F_y de par rapport à et . Ce processus consiste à trouver ces dérivées partielles et à confirmer qu’elles correspondent aux termes respectifs de l’équation différentielle donnée.

En laissant F(x,y)= x^2 y^3+xy^3+3xy , on obtient ses dérivées partielles :

F_x=2xy^3+y^3+3y

F_y=3x^2y^2+3xy^2+3x

Nous observons que F_x et F_y sont équivalents aux expressions multipliées par et dans l’équation, respectivement, ce qui confirme que F(x,y)=c est la solution à l’équation différentielle donnée.

underbrace((2x y^3+y^3+3y))_(F_x)dx+underbrace((3x^2 y^2+3xy^2+3x))_(F_y)dy=0

B. Solution d’équations exactes

Nous allons maintenant nous concentrer sur une compréhension plus large des équations différentielles exactes. Considérons une équation différentielle exprimée sous la forme

M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0

qui peut aussi être représentée sous la forme

M(x,y) + N(x,y) (dy)/(dx) = 0 .

Une équation de cette forme est dite exacte s’il y a une fonction F(x,y) telle que ses dérivées partielles F_x et F_y correspondent à M(x,y) et N(x,y) , respectivement. En l’absence d’une telle fonction , F(x,y)=c représente une solution à l’équation différentielle.

Par exemple, les équations 4xy^2dx-7x^3ydy=0 et 5ysinx-xycosx(dy)/(dx)=0 sont des exemples d’équations de forme exacte.

Les questions à se poser maintenant sont donc les suivantes :

Comment déterminer si une équation différentielle donnée est exacte?
Si elle est exacte, comment trouver la fonction et, par conséquent, une solution?

Pour ce qui est de la première question, supposons que l’équation différentielle donnée est exacte, d’où l’existence d’une fonction F(x,y)

avec des dérivées partielles F_x

et

qui correspondent à M(x,y)

et

, respectivement. Si

et ses dérivées partielles

et

sont continues, alors les dérivées partielles secondes de

doivent être égales à :

F_(xy)= F_(yx)

ou, de manière équivalente,

M_y=N_x

Cette relation est résumée dans le théorème ci-dessous.

1) Test d’exactitude

Théorème. Supposons que les dérivées premières de M(x,y) et N(x,y sont continues dans une région rectangulaire . L’équation différentielle

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

est donc exacte dans si et uniquement si la condition suivante est satisfaite pour tous les (x,y) dans :

(delM)/(dely) (x,y)=(delN)/(delx) (x,y)

Pour ce qui est de la seconde question sur la résolution d’une équation différentielle exacte, il faut suivre la procédure ci-dessous.

2) Méthode de résolution d’équations exactes

1*. Trouver F(x,y) : si l’équation est exacte, alors (delF)/(delx) (x,y)=M . Intégrer cette équation par rapport à pour trouver une partie de . Il ne faut pas oublier d’inclure une fonction arbitraire de l’autre variable, en l’occurrence .

F(x,y)=int M(x,y)dx+g(y)

2. Déterminer la fonction arbitraire :

a. Pour trouver g(y) ,il faut d’abord déterminer F_y à partir de l’expression obtenue pour F(x,y) à l’étape 1. Comme F_y doit être égal à N(x,y) à partir de l’équation différentielle exacte, il faut définir F_y comme étant égal à N(x,y) et trouver la valeur de g'(y) .

b. Après avoir isolé g'(y) , il faut l’intégrer par rapport à pour obtenir g(y) . Définir la constante d’intégration sur zéro. Remplacer le g(y) déterminé dans l’expression de F(x,y) afin de terminer.

3. Formuler la solution générale : La solution de M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0 est donnée implicitement (sans solution pour ) par

F(x,y)=C

où est une constante. L’équation représente la famille de courbes qui sont des solutions de l’équation différentielle.

*Remarque : à titre d’alternative, on peut aussi commencer par intégrer (delF)/(dely) (x,y)=N par rapport à , puis suivre les mêmes étapes pour trouver F(x,y) si l’intégration semble plus facile.

Exemple 2.3.2 : Résoudre une équation exacte

Déterminer si l’équation est exacte et, si tel est le cas, trouve la solution : 3y^3 dx + 9xy^2 dy = 0

Afficher/Masquer la solution

1) Test d’exactitude :

M=3y^3 (delM)/(dely) (x,y)=9y^2

N=9xy^2 (delN)/(delx) (x,y) = 9y^2

Comme M_y=N_x , l’équation est exacte.

2) Trouver la solution :

1. Nous savons que F_x = M=3y^3 . Nous intégrons par rapport à :

F(x,y)=int3y^3dx+g(y)

= 3xy^3 + g(y)

2a. Pour trouver g(y) , il faut prendre la dérivée partielle de ci-dessus par rapport à :

F_y = 9xy^2 + g'(y)

Comme F_y doit être égal à N(x,y)=9xy^2 à partir de l’équation différentielle exacte, il faut définir F_y comme étant égal à N(x,y) trouver la valeur de g'(y) ou le déterminer par comparaison.

En comparant, nous déterminons que g'(y) = 0 .

2b. En intégrant g'(y) par rapport à y, on obtient g(y)= C . En définissant la constante d’intégration sur zéro, on obtient g(y)=0 , soit F = 3xy^3 .

3. Ainsi, l’équation différentielle a pour solution implicite

3xy^3 = C

Prenons un exemple

Exemple 2.3.3 : Résoudre une équation exacte avec condition initiale

a) Résous le problème de valeur initiale et trouver la solution explicite y=f(x) . b) Déterminer l’intervalle de validité.

(3y^3-1)e^x dx+9y^2(e^x-3)dy = 0, y(0)=2

Afficher/Masquer la solution

a)

1) Test d’exactitude :

M=(3y^3-1)e^x (delM)/(dely) (x,y)=9y^2e^x

N=9y^2(e^x-3) (delN)/(delx) (x,y) = 9y^2e^x

Comme M_y=N_x , l’équation est exacte.

2) Trouver la solution générale :

Nous avons l’option d’intégrer par rapport à ou d’intégrer par rapport à . Comme les deux intégrales sont aussi simples l’une que l’autre, nous intégrons par rapport à pour varier les choses, en veillant à donner des exemples des deux méthodes.

1.

(delF)/(dely) = N

F(x,y)=int9y^2(e^x-3) dy+h(x)

= 3y^3(e^x-3) + h(x)

Il importe d’inclure une fonction arbitraire de , h(x) , puisque, cette fois, nous intégrons par rapport à .

2a. Pour trouver h(x) , il faut prendre la dérivée partielle de ci-dessus par rapport à :

F_x = 3y^3e^x + h'(x)

Comme F_x doit être égal à M(x,y)=(3y^3-1)e^x à partir de l’équation différentielle exacte, il faut définir F_x comme étant égal à M(x,y) , puis trouver la valeur de h'(x) ou la déterminer par comparaison.

F_x=M(x,y)

3y^3e^x + h'(x)= (3y^3-1)e^x

h'(x)=-e^x

2b. En intégrant h'(x) par rapport à , on obtient h(x)= -e^x+C_1 . En définissant la constante d’intégration sur zéro, on a h(x)=-e^x . Par conséquent,

F(x,y)= 3y^3(e^x-3) -e^x

3. Ainsi, l’équation différentielle a pour solution implicite

3y^3(e^x-3) -e^x = C

Appliquer la condition initiale :

y(0)=2

3(2^3)(e^0-3) -e^0 = C

24(1-3)-1=C

C=-49

La solution du PVI est donc

3y^3(e^x-3) -e^x = -49

Comme nous devons trouver la solution explicite, nous réarrangeons l’équation afin de trouver la valeur de :

3y^3(e^x-3) = e^x-49

y^3= (e^x-49)/(3(e^x-3))

y=root(3)((e^x-49)/(3(e^x-3)) )

b) Trouver l’intervalle de validité :

Pour établir l’intervalle de validité de la solution, nous devons nous assurer que le dénominateur de la fonction rationnelle n’est pas égal à zéro afin d’éviter les expressions indéfinies :

e^x-3!=0

x!=ln(3)

L’intervalle de validité pour la solution est donc

Prenons un exemple

Section 2.3 Exercices

Détermine si l’équation est exacte et, si tel est le cas, trouve la solution : .

Afficher/Masquer la réponse
Résous l’équation différentielle : .

Afficher/Masquer la réponse
Résous le problème de valeur initiale. Donne la solution explicite : , .

Afficher/Masquer la réponse

2.3 Équations différentielles exactes

A. Introduction

B. Solution d’équations exactes

1) Test d’exactitude

2) Méthode de résolution d’équations exactes

Section 2.3 Exercices

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